En un escenario de Bell, ¿por qué las correlaciones sólo pueden ser no locales si hay al menos dos configuraciones de medida entre las que elegir?

Question

En ( Brunner et al. 2013 ), los autores mencionan (final de la pág. 6) que un conjunto de correlaciones $p(ab|xy)$ puede ser no local sólo si $\Delta\ge2$ y $m\ge2$ donde $\Delta$ es el número de resultados de la medición para las dos partes (es decir, el número de valores diferentes que $a$ y $b$ puede asumir), y $m$ el número de ajustes de medición entre los que se puede elegir (es decir, el número de valores de $x$ y $y$ ).

Una distribución de probabilidad $p(ab|xy)$ se dice aquí no local si se puede escribir como $$p(ab|xy)=\sum_\lambda q(\lambda) p(a|x,\lambda)p(b|y,\lambda).\tag1$$ Esto significa que si sólo hay un resultado de medición posible, o sólo una configuración de medición posible, entonces todas las distribuciones de probabilidad pueden escribirse como en (1).

En $\Delta=1$ (sólo un resultado de medición) es trivial: si es así, denotando con $1$ el único resultado de medición posible, tenemos $p(11|xy)=1$ para todos $x,y$ . Sin necesidad de la variable oculta, podemos tomar simplemente $p(1|x)=p(1|y)=1$ y obtenemos la descomposición deseada (1).

En $m=1$ caso, sin embargo, es menos trivial. En este caso, la cuestión parece equivalente a preguntarse si una distribución de probabilidad arbitraria $p(a,b)$ puede escribirse como $$p(a,b)=\sum_\lambda q(\lambda)p(a|\lambda)p(b|\lambda).$$ El documento no menciona ninguna referencia que apoye este hecho. ¿Cómo puede demostrarse?

Answer 1

Hacer un $\lambda_{a,b}$ para cada par $(a,b)$ .

Entonces haz $q(\lambda_{a,b}) = p(a,b)\,$ y

$p(a|\lambda_{a,b}) = p(b|\lambda_{a,b}) = 1.$

Answer 2

El escenario de no localidad de Bell con $N$ partes y donde cada parte puede elegir $M$ mediciones y resultados de cada medición $K$ se conoce como $N$ - $M$ - $K$ El escenario de no localidad de Bell. Existen varios tipos de argumentos para explicar por qué el escenario de no localidad de Bell no trivial más simple es $2-2-2$ caso. Aquí me gustaría señalar un argumento basado en un teorema de A. Fine ( Teorema de Fine ), que dice que la existencia del modelo de variable oculta local es equivalente a la existencia de la distribución de probabilidad conjunta para todas las medidas implicadas en la prueba de Bell y todos los estadísticos accesibles experimentalmente pueden reproducirse a partir de esta distribución de probabilidad conjunta tomando marginales.

Dado que la teoría cuántica es una teoría de no señalización ( $\sum_{a}p(a,b|A,B)=\sum_{a'}p(a',b|A,B)$ para medidas arbitrarias $A,A'$ elegido por Alice y $B$ elegido por Bob, también es necesario establecer restricciones similares para Bob). Si Alice y Bob sólo pueden elegir una medida, entonces siempre tenemos una distribución de probabilidad conjunta experimentalmente accesible $p(a,b|A,B)$ lo que está garantizado por la suposición de que las mediciones compatibles pueden medirse conjuntamente, y puesto que dos mediciones se llevan a cabo por dos partes separadas en el espacio, las estadísticas de medición deben satisfacer la condición de no señalización. Dado que sólo $A,B$ están implicadas en esta prueba de Bell y tenemos una distribución de probabilidad conjunta de las mismas, entonces debe existir un modelo de variable oculta local para este $2-1-K$ escenario.

Para el caso en que Alicia pueda elegir entre dos medidas $A,A'$ y Bob sólo puede elegir la medición $B$ por la suposición de que las medidas no señalizadoras y compatibles tienen una distribución de probabilidad conjunta, la distribución de probabilidad experimentalmente accesible es $\{p(a|A),p(a'|A'),p(b|B),p(a,b|A,B),p(a',b|A',B)\}$ una distribución de probabilidad conjunta puede construirse como $p(a,a',b)=\frac{p(a,b|A,B)p(a',b|A',B)}{p(b|B)}$ satisface la condición de no señalización, por lo que también garantiza la existencia del modelo de variable oculta local. El caso en el que Bob puede elegir entre dos mediciones y Alice sólo puede elegir una es similar. Por tanto, el caso no trivial más sencillo debe ser $2-2-2$ para el que la desigualdad de Bell es Desigualdad CHSH .