Evaluar

Question

Me dieron la integral$$\int_0^\infty \cos(bx)(x-\ln(e^x-1))dx$% $ de un amigo. Encontré una respuesta en términos de la función Digamma, pero él me dijo que la respuesta se puede obtener sin números imaginarios. Estoy completamente estupefacto por cómo obtuvo la respuesta.

No tengo ni idea de por dónde empezar sin usar números complejos. Cuando$b=0$, es bastante fácil mostrar que se evalúa como$\zeta(2)$ o$\frac{\pi^2}{6}$. Pero no puedo entender una forma general sin usar Digamma.

Answer 1

\begin{align} \int_0^\infty \cos bx(x-\ln(e^x-1))dx &= \int_0^\infty \cos bx\ln\dfrac{1}{1-e^{-x}}\ dx\\ &= \int_0^\infty \cos bx\sum_{n=1}^\infty\dfrac{e^{-nx}}{n}\ dx\\ &= \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}\int_0^\infty \cos bx\ e^{-nx}\ dx\\ &= \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}\dfrac{n}{b^2+n^2}\\ &= \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{b^2+n^2}\\ &= \frac{\pi\coth\pi b}{2b}-\dfrac{1}{2b^2} \end {align} donde $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi\coth(\pi a)}{2a} - \frac{1}{2a^2}$ . Tenga en cuenta que$$\int_0^\infty \cos bx\ e^{-nx}\ dx={\cal L}(\cos bx)\Big|_{s=n}=\dfrac{n}{b^2+n^2}$ $