Tengo un problema con el siguiente problema del capítulo 6.1 (Espacios de productos internos y normas) de la obra de Friedberg Álgebra lineal 4ª ed.
$"$ Sea $\{v_1 ,v_2 ,...,v_k\}$ sea un conjunto ortogonal en V, y sea $a_1 ,a_2 ,...,a_k$ sean escalares. Demostrar que $$||\sum_{i=1}^k a_i v_i||^{2} = \sum_{i=1}^k |a_i|^{2} ||v_i||^{2}."$$
Mi intento de solución:
$"$ Recordemos que $\{v_1 ,v_2 ,...,v_k\}$ es ortogonal, dos vectores distintos cualesquiera $v_1 ,v_j \in \{v_1 ,v_2 ,...,v_k\}$ formaría la igualdad $<v_i ,v_j>=0$ . Elijamos un vector $v_i\in \{v_1 ,v_2 ,...,v_k\}$ tal que $<v_i,v_i>\neq0$ . Por las propiedades $||x||=\sqrt{<x,x>}$ y $\overline{\sum_{\ell=1}^n x_\ell}=\sum_{\ell=1}^n \overline{x_\ell}$ ('el conjugado de una suma es la suma de los conjugados'), tenemos $$||\sum_{i=1}^k a_i v_i||^{2} =<\sum_{i=1}^k a_i v_i,\sum_{i=1}^k a_i v_i>$$ $$=\sum_{i=1}^k a_i \sum_{i=1}^k \overline{a_i} <v_i,v_i>.$$ Tenga en cuenta que cada $\sum_{i=1}^k a_i ,\sum_{i=1}^k \overline{a_i}$ denota simplemente un escalar, podemos utilizar las propiedades $<cx,y>=c<x,y>$ y $<x,cy>=\bar c <x,y>."$
En este punto estoy básicamente atascado. Si hago el argumento... $$\sum_{i=1}^k a_i \sum_{i=1}^k \bar a_i=(a_1 + a_2 +...+ a_k)(\bar a_1 + \bar a_2 +...+\bar a_k)$$ $$=(a_1 + a_2 +...+ a_k) \overline{(a_1 + a_2 +...+ a_k)}$$ $$=|a_1 + a_2 +...+ a_k|^{2}$$ $$=|\sum_{i=1}^k a_i|^{2}$$ ... No llego más lejos, porque hasta donde yo sé, $|\sum_{i=1}^k a_i|^{2}\neq \sum_{i=1}^k |a_i|^{2}$ (debido a la desigualdad del triángulo). Creo que probablemente estoy cometiendo algunos errores fatales a lo largo de esta demostración. ¿Podría alguien con conocimientos de álgebra lineal arrojarme algo de luz?
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Tienes un error algebraico: debería ser $\langle \sum_{i=1} a_iv, \sum_{i = 1} a_iv \rangle = \sum_{i=1} \sum_{j=1} a_i \bar a_j \langle v_i, v_j \rangle$ . Piensa en cómo aplicar las propiedades del producto interior de forma iterativa.
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@NikPronko: Gracias. Sin embargo, ¿por qué empleas diferentes subíndices, especialmente cuando la ortogonalidad es un problema? Si vi=/=vj, entonces ¿no sería <vi,vj>=0, haciendo que toda la expresión fuera igual a cero? De todos modos, esa es la suposición con la que procedí, posiblemente causando muchos errores.
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Esto es cierto, pero si se calcula esta suma sólo para vectores generales sería evidente que $\langle v_i, v_i\rangle$ se multiplican por $a_i \bar a_j$ y no por el producto de sumas. Tu razonamiento es esencialmente correcto.