He oído un par de veces que no hay dinámica en 3D (2+1) GR, que es algo así como una teoría topológica. Tengo el argumento en el 2D caso (la métrica es conformemente planas, ecuaciones de Einstein trivialmente satisfecho y que la acción es sólo un número topológico), pero no entiendo cómo todavía es verdadera o parcialmente similar con un espacio más dimensión.
Respuesta
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La ausencia física de las excitaciones en 3 dimensiones tiene una simple razón: el tensor de Riemann puede ser plenamente expresada a través del tensor de Ricci. Debido a que el tensor de Ricci se desvanece en el vacío debido a las ecuaciones de Einstein, el tensor de Riemann se desvanece (siempre que las ecuaciones de movimiento son impuestas): el vacío tiene que ser plana (no trivial de Schwarzschild-curva en soluciones de vacío). Así que no puede ser de cualquiera de las ondas gravitacionales, no hay gravitones (quanta de ondas gravitacionales). En otras palabras, Ricci planitud implica planitud.
Contando los componentes de los tensores
La razón por la que el tensor de Riemann está totalmente determinado por el tensor de Ricci no es difícil de ver. El tensor de Riemann es $R_{abcd}$ pero es antisimétrica en $ab$ y en $cd$ y simétrica en virtud del cambio del índice de pares $ab$, $cd$. En 3 dimensiones, uno puede dualize el antisimétrica índice de pares $ab$ $cd$ para índices simples $e,f$ utilizando el antisimétrica $\epsilon_{abe}$ tensor y el tensor de Riemann es simétrica en estos nuevos consolidado $e,f$ índices por lo que tiene 6 componentes, como el tensor de Ricci $R_{gh}$.
Debido a que el tensor de Riemann puede ser escrita en términos del tensor de Ricci y porque tienen el mismo número de componentes en cada punto en $D=3$, debe ser cierto lo opuesto a la relación que ha de existir también. Es $$ R_{abcd} = \alpha(R_{ac}g_{bd} - R_{bc}g_{ad} - R_{ad}g_{bc} + R_{bd}g_{ac} )+\beta R(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) $$ Se los dejo como tarea para calcular los valores de la derecha de $\alpha,\beta$ a partir de la condición de que el $ac$-contracción de los objetos de arriba produce $R_{bd}$, como se espera de la Ricci tensor de la definición.
El recuento de las polarizaciones de gravitones (o lineal de las ondas gravitacionales)
Una forma alternativa para probar que no hay física de las polarizaciones en $D=3$ es para contar con ellos usando la fórmula habitual. La física de las polarizaciones en $D$ dimensiones de la traceless simétrica del tensor en $(D-2)$ dimensiones. Para $D=3$, usted tiene $D-2=1$ tan sólo de la simetría del tensor sólo tiene un único componente, por ejemplo,$h_{22}$, y el traceless condición elimina esta última condición, también. Así, al igual que usted tiene 2 física gravitacional de las polarizaciones en $D=4$ y 44 polarizaciones en $D=11$, para mencionar dos ejemplos, hay 0 de ellos en $D=3$. El número general es $(D-2)(D-1)/2-1$.
En 2 dimensiones, el conjunto tensor de Riemann se puede expresar en términos de la Ricci escalar de curvatura $R$ (mejor que el tensor de Ricci en sí es $R_{ab}=Rg_{ab}/2$) que está directamente impreso en el componente $R_{1212}$ etc.: Las ecuaciones de Einstein se vuelven vacías en 2D. El número de componentes del campo gravitacional es formalmente $(-1)$$D=2$; la dinámica local de la gravedad sector no es sólo vacío pero impone restricciones sobre el resto de la materia, también.
Otros efectos de la gravedad en 3D
Mientras que no hay ondas gravitacionales en 3 dimensiones, esto no quiere decir que no hay absolutamente ningún efecto gravitatorio. Uno puede crear un punto de masas. Su campo gravitacional crea un vacío que es Riemann-plana casi en todas partes, pero crea un déficit de ángulo.
Aproximadamente equivalente teorías
Debido a la ausencia de locales excitaciones, este es formalmente una teoría topológica y hay mapas a otras teorías topológicas en 3D, especialmente la de Chern-Simons teoría con un indicador de grupo. Sin embargo, esta equivalencia sólo se mantiene en algunos perturbativa de aproximaciones y bajo extra supuestos, y para la mayoría de los propósitos, es un vacuo relación, de todos modos.
