Un ejercicio parafraseado de la obra de Herstein Temas de Álgebra (2ª edición, capítulo 4, §4.5, problema 12):
Dejemos que $M$ sea una izquierda irreducible $R$ -módulo, donde $R$ es un anillo arbitrario y $rm \neq 0$ para algunos $r \in R$ y $m \in M$ . Demostrar que si $T \colon M \to M$ es un $R$ -entonces es el mapa cero o un isomorfismo.
Este ejercicio está marcado como más difícil que otros, pero no entiendo por qué, ni por qué son necesarias todas las hipótesis. En particular, no entiendo por qué el $rm \neq 0$ para algunos $r \in R$ y $m \in M$ asuntos. Sé que asumir eso implica que $M$ es cíclico, pero no por qué eso sería útil aquí. Estar en desacuerdo con el texto me hace pensar que me he perdido por completo alguna sutileza de los módulos.
Aquí está mi intento de prueba:
Prueba: El núcleo de $T$ es un submódulo de $M$ . Desde $M$ es irreducible, puede ser $\{0\}$ o $M$ . Si el núcleo es $M$ entonces $T$ es el mapa cero, y ya está; si es $\{0\}$ entonces $T$ es inyectiva. Además, si el núcleo es $\{0\}$ y $M$ tiene al menos un elemento distinto de cero, entonces $T(M) \neq \{0\}$ . Aplicando la irreductibilidad de $M$ al submódulo $T(M)$ produce $T(M) = M$ Así que $T$ también es sobreyectiva. $\blacksquare$
¿Me he equivocado en alguna parte? Si no es así, ¿por qué se añaden las hipótesis adicionales? (¡También aparecen en casi todos los ejercicios siguientes a éste!)
