La existencia de Global de la Definición de la Función para la Hipersuperficie

Question

Deje $M$ ser un suave colector, y $\Sigma$ una hipersuperficie de $M$. (Es decir, $\Sigma$ es suavemente incrustado un subconjunto de a $M$ con codimension $1$.)

Por una definición de función para $\Sigma$, nos referimos a algunos de los $f \in C^\infty(M)$ tal que $\Sigma = \{p: f(p) = 0\}$, y para cualquier $s\in \Sigma$, $\nabla f(s) \neq 0$.

Supongamos $\Sigma$ admite global de la unidad de vectores normales de campo.

Utilizando el teorema de la función inversa para $\mathbb R^n$, que puede mostrar la existencia de locales de la definición de funciones, por otra parte, a continuación, puedo construir locales en la definición de las funciones de la satisfacción de $\nabla f(s) = n(s)$$s \in \Sigma$. Por lo tanto, las funciones que se "definido localmente en los puntos cercanos" será "similar a la de primer orden". Sin embargo, no es cierto que simplemente podemos unirlas para formar un global de definición de la función, ya que no hay garantía de que las funciones que en realidad están de acuerdo en sus superposiciones.

Pregunta: ¿la existencia de una unidad normal del vector de campo de garantizar la existencia de una definición de función?

---

En el segundo pensamiento, cada hipersuperficie de $\mathbb R^n$ debe admitir global de la unidad normal de campos vectoriales. Normalmente lo hago en la geometría diferencial en indefinido firmas donde esto no es cierto en general.

Answer 1

1) Se necesita un local de la definición de la función. Esto significa que $\Sigma$ debe tener trivial normal bundle (equivalente a su condición, la existencia de un vector normal de campo). Esto no es siempre cierto: aún orientada a los colectores puede tener no orientado, 1 cara submanifolds, el modelo de caso ser $\Bbb{RP}^2 \subset \Bbb{RP}^3$ (o el mismo ejemplo 1 dimensión). Suponiendo que el submanifold orientada y el espacio total se orienta, entonces usted puede siempre orientado a la normal de paquete, y orientado a la línea de paquete es trivial, así que esto es suficiente para garantizar el normal global de campo.

2) Si usted tiene un global de definición de la función, los recortes de su colector en $f^{-1}((-\infty, 0])$$f^{-1}([0, \infty))$. En particular, el complemento de su hipersuperficie está desconectado. Esto no es siempre cierto: considere la posibilidad de un círculo en el interior de un toro (que no sólo vinculado a un disco); corte a lo largo de ella y que revelan un anillo, que está conectado.

Asumiendo que su submanifold ha trivial normal del paquete y desconectado del complemento, usted siempre puede construir un global de definición de la función: sólo asegúrese de que usted se mantenga por encima de $0$ a un lado y a menos de $0$ sobre el otro.