Hesaplamak

Question

<blockquote> <p>Calcular %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Parece que el integral no puede resolverse en términos de funciones elementales, así que intento utilizar el teorema de Cauchy (residuo) para evaluarlo. ¿Sin embargo, no pude encontrar un complejo función $$\int_0^\infty\frac{\sin^3{x}}{e^x-1}\,\mathrm dx.$$$f(z) = \frac{?}{e^z-1}$\sin{x}$ to evaluate this real integral. If the numerator were $e^{iz}$, we can consider $$ since $$ allí es cualquier Consejo o método para resolver este problema?</p>

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sin^3 x = \frac34 \sin x- \frac14 \sin(3x)$ y para cualquier $a\in\mathbb{R}$, % $$ \begin{align} \int{0}^{\infty} \frac{\sin(ax)}{e^x - 1} dx &= \int{0}^{\infty} \frac{\sin (ax) e^{-x}}{1 - e^{-x}} dx = \int{0}^{\infty} \left( \sum{n=1}^{\infty} \sin(ax) \, e^{-nx} \right) dx \ &=\sum{n=1}^{\infty} \int{0}^{\infty} \sin (ax) \, e^{-nx} \; dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{n^2+a^2}. \end{alinee el}. por lo tanto de $$ $$\int0^\infty\frac{\sin^3 x}{e^x-1}dx=\frac{3}{4}\sum{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^2+1}-\frac{1}{n^2+9}\right).$ $ para encontrar un ver fórmula cerrada Cómo suma $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + a^2}$?

Answer 2

$$\sin^3 x=\dfrac34\sin x-\dfrac14\sin3x$$

con zeta definición de función $\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{u^{x-1}}{e^u-1}du=\Gamma(x)\zeta(x)$, e $\sin$ expansión se puede escribir \begin{align} \int_0^\infty\dfrac{\sin^3x}{e^x-1}dx &= \dfrac34\int_0^\infty\dfrac{\sin x}{e^x-1}dx-\dfrac14\int_0^\infty\dfrac{\sin3x}{e^x-1}dx \\ &= \sum_{n=0}^\infty\dfrac34\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_0^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{e^x-1}dx-\sum_{n=0}^\infty\dfrac14\dfrac{(-1)^n3^{2n+1}}{(2n+1)!}\int_0^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{e^x-1}dx \\ &= -\dfrac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty i^{2n}\zeta(2n)+\dfrac{1}{12}\sum_{n=1}^\infty (3i)^{2n}\zeta(2n) \\ &= -\dfrac{3}{4}\frac12\left(1-\pi i\cot\pi i\right) + \dfrac{1}{12}\frac12\left(1-3\pi i\cot3\pi i\right)\\ &= \color{blue}{-\dfrac13 + \dfrac{3}{8}\pi \coth\pi - \dfrac{1}{8}\pi \coth3\pi} \end{align} que se utilizó $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^{2n}\zeta(2n)=\dfrac12\left(1-\pi x\cot\pi x\right)$.

Answer 3

Utilizaré el mismo método como se ve aquí: Integral $\int_0^{\infty} \frac{x\cos^2 x}{e^x-1}dx$ $$I(k)=\int0^\infty \frac{\sin(kx)}{e^x-1}dx=\sum{s=1}^\infty \int0^\infty \sin(kx)e^{-sx}dx$$ The middle integral can be taken as the laplace transform of $\sin (kx) = \frac {k} {s ^ 2 + k ^ 2} $ giving: $$I=\sum{n=1}^\infty \frac{k}{n^2+k^2}$$ But we have: $$\pi \coth \pi z = \frac{1}{z} + \sum{n=1}^{\infty} \frac{2z}{n^2+z^2} \rightarrow \sum{n=1}^\infty\frac{k}{n^2+k^2}=\frac{\pi } \coth \pi 2 k-\frac1 {2 k} $$ ahora usted puede terminar.

Answer 4

$$ \sin^3 x = \frac 14\left(3\sin x-\sin(3x)\right)\\ \frac{1}{e^x-1} = e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\;\;\mbox{con }\;\; x > 0 $$

entonces

$$ \int_0^\infty\frac{\sin^3{x}}{e^x-1}\,\mathrm dx = \frac 14\int_0^{\infty}\left(\left(3\sin x-\sin(3x)\right)e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\right) \mathrm dx $$

ahora la adición de

$$ \frac 14\int_0^{\infty}\left(\left(3\cos x-\cos(3x)\right)e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\right) \mathrm dx+ i\left(\frac 14\int_0^{\infty}\left(\left(3\sin x-\sin(3x)\right)e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\right) \mathrm dx\right) $$

tenemos

$$ I = \frac 14\int_0^{\infty}\left(3e^{ix}-e^{e^{i 3x}}\right) e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx} \mathrm dx $$

o

$$ I = \frac 14\left(\int_0^{\infty}3\sum_{k=0}^{\infty}e^{-(k+1-i)x}\right)\mathrm dx - \frac 14\left(\int_0^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-(k+1-3i)x}\right)\mathrm dx $$

por lo tanto

$$ I = \frac 14\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3}{k+1-me}-\frac{1}{k+1-3i}\right) = \frac 14\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{3(k+1)}{(k+1)^2+1}-\frac{k+1}{(k+1)^2+3^2}+i\left(\frac{24}{\left((k+1)^2+1\right) \left((k+1)^2+3^2\right)}\right)\right) $$

y, finalmente,

$$ \int_0^\infty\frac{\sin^3{x}}{e^x-1}\,\mathrm dx =\frac 14\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{24}{\left((k+1)^2+1\right) \left((k+1)^2+3^2\right)}\right) = \pi \cosh ^3(\pi ) \text{csch}(3 \pi )-\frac{19}{30} $$