¿Cómo puedo utilizar correctamente un signo de implicación lógica al resolver una ecuación?

Question

Estaba leyendo un libro de lógica matemática, y me encontré con la siguiente pregunta:

$ $

$\sqrt{2x+1}=\sqrt x-5 2x+1=(\sqrt x-5)^2$

$ 2x+1=x-10\sqrt x+25$

$ 10\sqrt x=24-x$ $ 100x=(24-x)^2$

$ 100x=576-48x+x^2$

$ x^2-148x+576=0$

$ (x-4)(x-144)=0$

$ x=4 x=144$

$ $

Ya que, significa lógicamente equivalente, aclaré la cuestión y llegué:

$ $

${\sqrt{2x+1}=\sqrt x-5 \quad \quad 10\sqrt x=24-x \quad \quad x=4 x=144} \quad $

$\sqrt{2x+1}=\sqrt x-5 \quad \quad (x=4 x=144)$

$ $

En este punto el libro decía "como la solución no concuerda con la ecuación, entonces debe ser falsa; y por lo tanto, también lo es la propia ecuación"

Mi principal problema con esta explicación fue que pensé:

La ecuación implica una solución determinada; sin embargo, la solución no implica la ecuación (de ahí el uso del signo de implicación). Esto significa que las dos afirmaciones no son lógicamente equivalentes.

Entonces, ¿cómo podemos decidir si las afirmaciones son verdaderas o falsas? ¿Cuál es nuestra referencia para decidir si la solución es verdadera (decimos simplemente que la solución es un enunciado falso sólo porque no concuerda con la ecuación cuyo valor de verdad se desconoce)?

¿No puede una ecuación como la anterior ser del caso, falsa ecuación $ $ solución verdadera (en realidad no pude encontrarle sentido a la última situación que sugerí, que creo que es técnicamente una posibilidad; mi conclusión fue que esto sólo puede ocurrir cuando la solución es realmente una afirmación verdadera que no tiene ninguna relación con la pregunta y en deducida no de la ecuación)?

Les agradecería que me ayudaran con este problema mío.

Answer 1

La ecuación dada define un conjunto de soluciones $$S:=\bigl\{x\in{\mathbb R}\bigm|\sqrt{2x+1}=\sqrt{ x}-5\bigr\}\ .$$ Luego siguió una cadena de proposiciones relacionadas con $\Rightarrow$ y $\Leftrightarrow$ de la siguiente manera: $$x\in S\Longrightarrow\ldots\Leftrightarrow\ldots\Longrightarrow\ldots \Leftrightarrow\ldots\Leftrightarrow \bigl(x=4\vee x=144\bigr)\ .$$ Esto demuestra $S\subset\{4, 144\}$ Ni más ni menos. Para determinar $S$ completamente ahora tenemos que comprobar cuál de $4$ y $144$ satisface la ecuación original. Resulta que ninguna de ellas lo hace. Por lo tanto, podemos decir con seguridad que $S=\emptyset$ .

Aquí no hay nada falso . El problema original planteaba una condición de apariencia inocente, pero esta condición no puede cumplirse dentro de ${\mathbb R}$ ; eso es todo.

Answer 2

Si se intenta resolver una ecuación del tipo $$f(x)=g(x)\tag1$$ elevando al cuadrado ambos lados, entonces lo que realmente estás haciendo es resolver la ecuación $$\bigl(f(x)\bigr)^2=\bigl(g(x)\bigr)^2.\tag2$$ Pero las soluciones de $(2)$ no tienen que ser soluciones de $(1)$ . Si $x$ es tal que $(1)$ sostiene, todo lo que puede decir es que $f(x)=\pm g(x)$ . Así, aunque es correcto que toda solución de $(1)$ debe ser una solución de $(2)$ no siempre es cierto que todas las soluciones de $(2)$ es una solución de $(1)$ . Si esto ocurre o no, debe comprobarse caso por caso.