¿Son equivalentes estas fórmulas formales?

Question

Mi libro de texto daba lo siguiente

$ \forall x_0 (\exists x_1 \ x_0=(\mathbf{O''} \cdot x_1) \vee \exists x_1 \ x_0=((\mathbf{O''} \cdot x_1)+\mathbf{O'})) $ ,

luego comentó la sintaxis y por qué los paréntesis son tan importantes aquí, etc...

Sin embargo, para este ejemplo, he dado

$ \forall x_0 \ \exists x_1 (\ x_0=(\mathbf{O''} \cdot x_1) \vee x_0=(\mathbf{O''} \cdot x_1)+\mathbf{O'}) $ .

Para mí son equivalentes, pero mi texto no menciona esta forma y no sugiere necesariamente que sea equivalente a la primera.

Entonces, ¿son equivalentes o la forma en que estoy usando $ \ \exists x_1 $ ¿le da a mi fórmula un significado diferente?

Gracias

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Editar

En otras palabras, ¿se puede "factorizar" el cuantificador existencial como lo hice yo?

Answer 1

La afirmación de que o bien hay algún objeto que es $P$ o hay algún objeto que es $Q$ , $\exists x_1 P(x_1) \lor \exists x_1 Q(x_1)$ es lógicamente equivalente a la afirmación de que existe algún objeto que es $P$ o $Q$ , $\exists x_1 (P(x_1) \lor Q(x_1))$ :

$\exists x_1 P(x_1) \lor \exists x_1 Q(x_1) \iff \exists x_1 (P(x_1) \lor Q(x_1))$ .

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Observe que lo mismo es no verdadero para la cuantificación existencial con conjunción. Por ejemplo, existe un gato y existe un perro, $\exists x \text{Cat}(x) \land \exists x \text{Dog}(x)$ Pero esto no significa exactamente que exista algo que sea a la vez un gato y un perro, $\exists x (\text{Cat}(x) \land \text{Dog}(x))$ .

Como advertencia a la imagen anterior, sería cierto decir que todos los objetos son a la vez un gato y un perro, $\forall x (\text{Cat}(x) \land \text{Dog}(x))$ si y sólo si todos los objetos son un gato y todos los objetos son un perro, $\forall x \text{Cat}(x) \land \forall x \text{Dog}(x).$

Answer 2

El cuantificador existencial distribuye sobre la disyunción . Por lo tanto, las dos frases son lógicamente equivalentes.