¿Puede la media aritmética de % un número compuesto $n$ $\sigma(n)$y $\varphi(n)$?

Question

Deje que

• $\varphi(n)$ ser la función de φ
• $\sigma(n)$ ser la función divisor-suma

Está claro que cada número primo $n$ es la media aritmética de $\varphi(n)$ y $\sigma(n)$, en otras palabras, la igualdad $$\varphi(n)+\sigma(n)=2n$ $ sostiene.

¿Puede llevar la igualdad determinada por un número compuesto $n$?

Hasta que $10^8$, no he encontrado un ejemplo. Conjetura que la igualdad sólo puede contener números primos o $n=1$. ¿Cómo puedo comprobarlo?

Answer 1

En otros términos, queremos

$$ \prod{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\prod{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}+\ldots+\frac{1}{p^{\nu_p(n)}}\right) = 2 $ $ pero el lado izquierdo no puede ser un número entero si $\nup(n)>1$, por lo que es suficiente para restringir nuestra atención al número libre de cuadrados y a las soluciones de % $ $$ \prod{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\prod{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right) = 2. $allí están algunos sólo si de soluciones $\omega(n)=0$ o $\omega(n)=1$.
Si $\omega(n)\geq 2$, la LHS es al menos tan grande como $$ 2+\sum{\substack{p,q\mid n \ p\neq q}}\frac{1}{pq} > 2.$ $

Answer 2

La respuesta es, de hecho, "No". Deje $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$. A continuación, $$\sigma(n)=(1+p_1+\cdots+p_1^{a_1})\cdot(1+p_2+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_k+\cdots+p_k^{a_k})\\\varphi(n)=(p^{a_1}_1-p^{a_1-1}_1)\cdots (p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1})$$

Ahora, si usted expandir el producto en $\varphi(n)$ y echar un vistazo a la "monomials" $p_1^{h_1}\cdots p_k^{h_k}$ que aparecen en ella, te darás cuenta de que:

1. todos ellos tienen un coeficiente de cualquiera de las $+1$ o $-1$ (en el caso de $0$ no se considera debido a que estamos tratando con los que aparecen en la expansión)

2. ellos son un subconjunto de los monomials que aparecen en la expansión de $\sigma(n)$

3. $p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ aparece con coeficiente de $+1$

4. si $k\ge 2$, hay al menos un monomio $M_n$ que aparece con coeficiente de $+1$ distinta de la mencionada en (3), es decir, $M_n=p_1^{a_1-1}p_2^{a_2-1}\prod_{j=3}^k p_j^{a_j}$.

Ya que todos los monomials en $\sigma(n)$ han coeficiente de $+1$, los que tienen $-1$ $\varphi(n)$ cancelar sobre la suma con $\sigma(n)$. Por lo tanto obtenemos que $$\sigma(n)+\varphi(n)\ge 2\cdot\sum\{\text{monomials that appear with coefficient }+1\text{ in }\varphi(n)\}$$

Como hemos observado en (3) y (4), si $k\ge 2$ tenemos que $RHS\ge 2n+2M_n> 2n$. Por otro lado, si $n=p^a$, luego $$\sigma(p^a)+\varphi(p^a)=2p^a+0\cdot p^{a-1}+p^{a-2}+\cdots +1$$ which is equal to $2p^$ if and only if $<2$.