Encontrar número real $a$ tal que $A$ de la matriz no es diagonalisable

Question

Considerar la matriz:

$\begin{bmatrix}2 & a & -1\0 & 2 & 1\-1 & 8 & -1\end{bmatrix}$

Encontrar todas las $a \in \mathbb R$ tal que $A$ no es diagonalisable.

Nunca he pensado de un problema antes. ¿Cuál es la manera sistemática de hacer que una matriz no diagonalisable?

Answer 1

(Estas notas del curso de Álgebra Lineal por Michael Stoll, 2007 proporcionar un buen fondo para mis siguientes afirmaciones. Como la página de la Wikipedia sobre la característica polinomios.)

El uso de los siguientes hechos:

a) Una matriz de $M \in \mathrm{Mat}(n,F)$ (donde $n$ es el tamaño de la matriz y $F$ es de campo) es diagonalisable si y sólo si su polinomio mínimo $m_M(x)$ es un producto de distintas monic lineal de factores.

b) El polinomio característico de una matriz de $M$ se define como $p_M(x)=\mathrm{det}(xI-M)$

c) Matrices de satisfacer sus propias características de ecuaciones: $p_M(M)=0$ todos los $M$. Por lo tanto, una matriz mínimo polinomio siempre divide a su polinomio característico: $m_M(x) \, \vert \, p_M(x)$.

d) El discriminante de un polinomio cúbico $ax^3+bx^2+cx+d$ está dada por: $$ \Delta_3 = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$$ Si $\Delta_3>0$, entonces la ecuación de tres raíces reales. Si $\Delta_3=0$, entonces la ecuación tiene una raíz repetida y todas sus raíces son reales. Si $\Delta_3<0$, entonces la ecuación tiene una única raíz real.

Por su matriz,

$$ A:= \left( \begin{matrix}2 & a & -1\\0 & 2 & 1\\-1 & 8 & -1\end{matrix} \right) $$

tenemos que

$$ \begin{align} p_A(x) &= \mathrm{det} \left( \begin{matrix} x-2 & -a & 1\\0 & x-2 & -1\\1 & -8 & x+1\end{de la matriz} \right) \\ \\ &= (x-2)((x-2)(x+1)-8) + (a - (x-2)) \\ &= x^3 -3x^2-9x+22+un \end{align} $$

Con algunos cálculos, el discriminante de $p_A$ es igual a $$\Delta_3 = -27(a-5)(a+27)$$

En primer lugar, $$\Delta_3>0 \iff -27<a<5$$ En este caso, $p_A$ tiene tres raíces reales, entonces se factorise en tres distintos factores lineales. Por lo tanto $m_A(x)$ también factorise en distintos factores lineales y $A$ será diagonalisable.

Por lo $-27<a<5$ implica que el $A$ es diagonalisable.

En segundo lugar, $$\Delta_3=0 \iff a \in \{-27,5\}$$

Si $a=-27$ $$ A:= \left( \begin{matrix}2 & a & -1\\0 & 2 & 1\\-1 & 8 & -1\end{matrix} \right) $$ y esta matriz se puede comprobar que tiene un máximo de dos vectores propios linealmente independientes $$ v_1:= \left( \begin{matrix}-10\\1\\3\end{matrix} \right) \qquad v_2:= \left( \begin{matrix}-8\\-1\\3\end{matrix} \right)$$ y por lo $A$ no es diagonalisable. (También podríamos considerar el Jordan en la Forma de $A$ calculado por @WillJagy en su respuesta a esta pregunta.)

Del mismo modo para $a=5$, $A$ resulta no ser diagonalisable.

En tercer lugar,

$$\Delta_3<0 \iff a \in (-\infty , -27) \cup (5, \infty )$$

En este caso, $p_A(x)=(x- \lambda )(x^2+ \beta x + \gamma )$ donde $\lambda$ , $\beta$ y $\gamma$ son reales y $(x^2+ \beta x + \gamma )$ no puede ser factorised sobre los reales. Desde $m_A$ divide $p_A$ tenemos tres opciones: $$ \begin{align} \mathrm{(i)} \qquad & m_A(x)=(x- \lambda ) \\\mathrm{(ii)} \qquad & m_A(x)=(x^2+ \beta x + \gamma ) \\\mathrm{(iii)} \qquad & m_A(x)=(x- \lambda )(x^2+ \beta x + \gamma ) \end{align}$$

Es obvio que $(A-\lambda I )$ no es igual a $0$ cualquier $\lambda$, por lo que podemos descartar la opción de $\mathrm{(i)}$. Pero en ambas de las opciones de $\mathrm{(ii)}$ y $\mathrm{(iii)}$, $m_A$ no es un producto de distintas monic lineal de los factores y, por tanto, $A$ no es diagonalisable.

Por lo tanto:

$A$ no es diagonalisable $\mathbb{R}$ si y sólo si $a \in (-\infty , -27] \cup [5, \infty )$

Edit: diagonalisability $\mathbb{C}$

Incluso si se está trabajando en $\mathbb{C}$, los casos de $\Delta_3>0$ $\Delta_3=0$ arriba siguen siendo exactamente el mismo: en estos casos la característica polinomio no tiene raíces complejas.

Sin embargo, $\Delta_3<0$ nos da ahora que $p_A$ puede ser factorised en tres distintos factores lineales en $\mathbb{C}[x]$. Por lo tanto $m_A(x)$ también factorise en distintas lineal de los factores en $\mathbb{C}[x]$ $A$ será diagonalisable.

Por lo tanto $A$ no es diagonalisable $\mathbb{C}$ si y sólo si $a \in \{-27,5\}$.

En general, para $A \in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$, si el discriminante de $p_A$ no es igual a $0$ $p_A$ no tiene raíces repetidas y $A$ será diagonalisable $\mathbb{C}$. Si el discriminante de $p_A$ es igual a $0$ a continuación, compruebe los vectores propios de a $A$ (o el formulario de la Jordan en la Forma de $A$) con el fin de comprobar los distintos casos de diagonalisability.

Answer 2

Adenda. He sido lento en un punto; si $a$ se encuentra fuera de un cierto rango, entonces debe haber un complejo de valores propios, es decir, no los números reales. Que es lo que las otras respuestas y comentarios son subrayar, que podría no ser posible para diagonalize sobre los números reales.

Otra forma para que no diagonal de Jordan en la forma, es real, pero se repite (generalizada) autovalores, donde no existe una base de vectores propios. Este es el aspecto que la dirección de abajo.

ORIGINAL: La derivada del polinomio característico es $3(x-3)(x+1).$ Al $a=5,$ do obtener el polinomio característico como un múltiplo de $(x-3)^2.$ Al $a=-27,$ obtenemos el polinomio característico como un múltiplo de $(x+1)^2.$ Estos conducir a la no-diagonal (pero real) Jordania formas, ver más abajo.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Con $a=5$ y $$ \left( \begin{array}{ccc} 1&-9&5 \\ 1&27&5 \\ -6&18&6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2&4&5 \\ -1&1&0 \\ 5&1&1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 36&0&0 \\ 0&36&0 \\ 0&0&36 \\ \end{array} \right) $$ tenemos

$$ \frac{1}{36} \; \left( \begin{array}{ccc} 1&-9&5 \\ 1&27&5 \\ -6&18&6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2&5&-1 \\ 0&2&1 \\ -1&0&-1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2&4&5 \\ -1&1&0 \\ 5&1&1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -3&0&0 \\ 0&3&1 \\ 0&0&3 \\ \end{array} \right) $$ La versión final es la llamada Forma Normal de Jordan. En los Estados Unidos se enseña con el nilpotent parte de arriba de la diagonal. En algunos países, como por ejemplo Uruguay, se enseña con cualquier extra $1$s por debajo de la diagonal.

En realidad el uso de la Jordan en la forma de algo meramente requiere la escritura de $$ \frac{1}{36} \; \left( \begin{array}{ccc} 2&4&5 \\ -1&1&0 \\ 5&1&1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -3&0&0 \\ 0&3&1 \\ 0&0&3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1&-9&5 \\ 1&27&5 \\ -6&18&6 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2&5&-1 \\ 0&2&1 \\ -1&0&-1 \\ \end{array} \right) $$

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

AL $a=-27,$ Con $$ \left( \begin{array}{ccc} 1&-17&-3 \\ 1&19&-3 \\ 6&6&18 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 10&8&3 \\ -1&1&0 \\ -3&-3&1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 36&0&0 \\ 0&36&0 \\ 0&0&36 \\ \end{array} \right) $$ tenemos

$$ \frac{1}{36} \; \left( \begin{array}{ccc} 1&-17&-3 \\ 1&19&-3 \\ 6&6&18 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2&-27&-1 \\ 0&2&1 \\ -1&0&-1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 10&8&3 \\ -1&1&0 \\ -3&-3&1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5&0&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&-1 \\ \end{array} \right) $$

$$ \frac{1}{36} \; \left( \begin{array}{ccc} 10&8&3 \\ -1&1&0 \\ -3&-3&1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 5&0&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&-1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1&-17&-3 \\ 1&19&-3 \\ 6&6&18 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2&-27&-1 \\ 0&2&1 \\ -1&0&-1 \\ \end{array} \right) $$

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Answer 3

Vamos a considerar tal un $a$. Entonces $A$ necesariamente debe tener un valor propio repetido, de lo contrario serían diagonalizable. Si $f(t) = \det(tI-A)$ es el polinomio característico, entonces $f$ y $f'$ debe tener una raíz común. Esto restringe seriamente los valores que $a$ puede tomar.

¿Se puede seguir desde aquí? Tenga en cuenta que por encima es una condición necesaria - después de calcular todos los posibles candidatos para $a$, es necesario comprobar si realmente tiene $A$ no-diagionalizable.