Tengo una prueba a mi declaración. Utiliza Karamata la desigualdad.
Karamata la Desigualdad (cortesía de Wikipedia)
Declaración de la Karamata la desigualdad va como esta.
Deje $I$ ser un intervalo de la recta real y deje $f$ denotar un valor real, convexo función definida en $I$. Si $x_1, \ldots, x_n$ $y_1, \ldots, y_n$ son números en $I$ tal que $(x_1, \ldots, x_n)$ majorizes $(y_1, \ldots, y_n)$, luego
$$f(x_1)+\cdots+f(x_n) \ge f(y_1)+\cdots+f(y_n) \tag{1}$$
Aquí majorization significa que
$$x_1+\cdots+x_n = y_1+\cdots+y_n \tag{2}$$
y, después de reetiquetado de los números de $x_1, \ldots, x_n$$y_1, \ldots, y_n$, respectivamente, en orden decreciente, es decir,
$$x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n \ and\ y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n, \tag{3}$$
tenemos
$$x_1+\cdots+x_i \ge y_1+\cdots+y_i \ \ \forall \ \ i \in \{1,2, \ldots, n-1\} \tag{4}$$
Prueba
Aquí en esta pregunta tome $(x_1, x_2, \ldots, x_n) = (a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1)$ $(y_1, y_2, \ldots, y_n) = (b_n, b_{n-1}, \ldots, b_1)$
(I) las Condiciones para majorization
(2) De (ii) $$\sum^n_{i=1} a_i = \sum^n_{j=1} b_j \implies x_1+\cdots+x_n = y_1+\cdots+y_n \tag{a}$$
(3) De (i)
$$a_n \ge a_{n-1} \ge \cdots \ge a_1 \ and\ b_n\ge b_{n-1}\ge\cdots\ge b_1 $$
$$\implies x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n \ and\ y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n$$
(4)
Deje $X_i = x_1+\cdots+x_i$$Y_i = y_1+\cdots+y_i \ \ \forall \ \ i \in \{1,2, \ldots, n\}$.
De (i) y (iii)
$$a_{j} \ge b_{j} \ \ \forall \ \ j \in \{k+1, k+2, \ldots, n\}$$
$$\implies a_n + a_{n-1} + \cdots + a_{j} \ge b_n + b_{n-1} + \cdots + b_{j} \ \ \forall \ \ j \in \{k+1, k+2, \ldots, n\}$$
$$\implies x_1+\cdots+x_i \ge y_1+\cdots+y_i \ \ \forall \ \ i \in \{1,2, \ldots, n-k\} \tag{b}$$
De (i) y (iii),
$$a_{j} \le b_{j} \ \ \forall \ \ j \in \{1, 2, \ldots, k\}$$
$$\implies X_i-X_{i-1} \le Y_i - Y_{i-1} \ \ \forall \ \ i \in \{n-k+1, n-k+2, \ldots, n\} \tag{c}$$
Esto significa que $Y_i$ aumenta más rápido que la $X_i$ en el rango $\{n-k+1, n-k+2, \ldots, n\} $
Pero a partir de (a) y (b) saber que $Y_n = X_n$$Y_{n-k} \le X_{n-k}$. Esto junto con (c) significa que,
$$\implies X_i \ge Y_i \ \ \forall \ \ j \in \{n-k+1, n-k+2, \ldots, n-1\} \tag{d}$$
Si la declaración anterior no era cierto, entonces no existe $l \in \{n-k+1, n-k+2, \ldots, n-1\}$ de manera tal que, $X_i \lt Y_i$. Pero, a continuación, a partir de (c) $Y_n$ nunca puede ser igual a $X_n$, como se indica en (a). Esta es una contradicción. Así, la declaración de arriba (d) es verdadera.
Por lo tanto, a partir de (d) $$\implies x_1+\cdots+x_i \ge y_1+\cdots+y_i \ \ \forall \ \ i \in \{n-k+1,n-k+2, \ldots, n-1\} \tag{e}$$
A partir de (b) y (e),
$$\implies x_1+\cdots+x_i \ge y_1+\cdots+y_i \ \ \forall \ \ i \in \{1, 2, \ldots, n-1 \}$$
Por lo tanto $(x_1, \ldots, x_n)$ majorizes $(y_1, \ldots, y_n)$.
Ahora tome $f(x) = -ln(x) \ \ \forall \ \ x \in \mathbb {R^+}$. $f(x)$ es una función convexa en $\mathbb {R^+}$porque,
(II) la Convexidad de $f(x)$
(A) Derivado de la $f(x)$,
$$f'(x) = - \frac1x \lt 0 \ \ \forall \ \ x \in \mathbb {R^+} \tag{f}$$
(B) la Segunda derivada de $f(x)$,
$$f''(x) = \frac1{x^2} \gt 0 \ \ \forall \ \ x \in \mathbb {R^+}$$
(III) el Uso de Karamata la Desigualdad
A partir de (1)
$$f(x_1)+\cdots+f(x_n) \ge f(y_1)+\cdots+f(y_n) $$
$$\implies f(a_n)+\cdots+f(a_1) \ge f(b_n)+\cdots+f(y_1) $$
$$\implies -ln(a_n)-\cdots-ln(a_1) \ge -ln(b_n)-\cdots-ln(b_1) $$
$$\implies ln(a_n)+\cdots+ln(a_1) \le ln(b_n)+\cdots+ln(b_1) $$
$$\implies ln(\prod^n_{i=1} a_i) \le ln(\prod^n_{j=1} b_j) \tag{g}$$
(F) vemos que $f(x) = -ln(x)$ es estrictamente una función decreciente. Por lo tanto, $-f(x) = ln(x)$ es estrictamente una función creciente. Esto implica, junto con (g) que,
$$ \prod^n_{i=1} a_i \le \prod^n_{j=1} b_j $$
Q. E. D
