Hace $\mathrm{span}\{u, u-v\}$ contienen el vector $v$ ?

Question

¿Estoy pensando correctamente?

\begin{aligned} \mathrm{span}\{u,u-v\} &= c_1u+c_2(u-v)\\ &= c_1u + c_2u - c_2v \\ &= c_1u + c_2u + c_3v \end{aligned} donde $c_3=-c_2$ . Así que tenemos $$\mathrm{span}\{u,u-v\}=(c_1+c_2)u + c_3v$$ que es sólo $\mathrm{span}\{u,v\}$ ¿no es así? ¿Estoy cometiendo un gran error conceptual?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su razonamiento es correcto.

Sin embargo tu notación es descuidada, tenemos $$ \text{span}(v,v-u) = \{ c_1 v + c_2 (v-u) |\text{ for arbitrary } c_1, c_2 \} $$ y no tenemos $$ \text{span}(v,v-u) = c_1 v + c_2 (v-u) $$ el LHS es un espacio vectorial mientras que el RHS es un vector.

Answer 2

Usted tiene $$v=u-(u-v). $$ Así que $v $ es una combinación lineal de $u $ y $u-v $ .