Demostrando que $\lim\limits_{x \to -1}(3x^2-3)\sin(x) = 0$.

Question

Demostrar que $\lim\limits_{x \to -1}(3x^2-3)\sin(x) = 0$.

Así, por la definición que tengo de probar que

$$ \exists\delta>0 \text{ tales que} $$ $$ 0<|x+1|<\delta \longrightarrow |(3x^2-3)\sin(x)|<\epsilon $$

Lo que yo hice: $$ |(3x^2-3)\sin(x)|=3|x+1||x-1||\sin(x)|\leq3|x+1||x-1| $$

Deje $\delta_1=1$, entonces:

$$ -1<x+1<1 \longrightarrow -3<x-1<-1<3 \longrightarrow |x-1|<3 $$

Así: $$ 3|x+1||x-1||\sin(x)|\leq3|x+1||x-1|<3|x+1|\cdot3<\epsilon $$

$$ |x+1|<\frac\epsilon9 $$

Así que lo dejé $\delta=\min(1,\frac\epsilon9)$ y yo estoy hecho?

No me tornillo en cualquier lugar?

¿Hay otras formas de demostrar esto?

Answer 1

Como es, la prueba no es completa. Que has hecho es bastante probable que $\delta=\min\left\{1,\dfrac\epsilon 9\right\}$ será suficiente, pero no una prueba formal todavía. Para completar la prueba formal, usted tiene que demostrar que esta $\delta$ funciona para todos los $\epsilon>0$. Esto es bastante tedioso y rutinario, y será muy similar a lo que ya hizo, sin embargo, debe hacerse. Aparte de que la prueba se ven bien.

N. B. me gustaría señalar que la definición que escribió, falta algo muy importante. Debe inculde en algún punto de la frase para cada $\epsilon>0$. Es una pena comentar, lo sé, pero realmente es muy vital para la definición.

Answer 2

El resultado básico Yo uso aquí es que, si $\lim_{x \a} f(x) \ne 0$, entonces $\lim_{x \a} f(x)g(x) = 0$ si y sólo si $\lim_{x \a} g(x) = 0$.

Primero de todo, $\sin(-1) \ne 0$, así $\lim\limits_{x \a -1}(3x^2-3)\sin(x) = 0$ si y sólo si $\lim\limits_{x \a -1}(3x^2-3) = 0$.

Segundo, $3x^2-3 =3(x^2-1) =3(x+1)(x-1) $, y $3((-1)-1) =-6$, así $\lim\limits_{x \a -1}(3x^2-3) = 0$ si y sólo si $\lim\limits_{x \a -1}(x+1) = 0$.

Finalmente, usted ser capaz de demostrar que $\lim\limits_{x \a -1}(x+1) = 0$.