Demostrar por inducción matemática que $\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}\leq2$ $n\ge 1$

Question

Tengo mi profesor que no tengo ni idea de cómo resolver este ejercicio. Cualquier ayuda sería muy apreciada:

Utilizando el método de inducción matemática muestran que para todas las $n \geq 1$, $n \in\mathbb{N}$ %

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}\leq2$$

Answer 1

Sugerencia: Comience por reunir algunos datos numéricos:

$$\begin{align} &\sum{i=1}^1\frac{i}{2^i}=\frac12=2-\frac32\ &\sum{i=1}^2\frac{i}{2^i}=\frac12+\frac24=\frac44=2-\frac44\ &\sum{i=1}^3\frac{i}{2^i}=\frac44+\frac38=\frac{11}8=2-\frac58\ &\sum{i=1}^4\frac{i}{2^i}=\frac{11}8+\frac4{16}=\frac{26}{16}=2-\frac6{16}\ &\sum_{i=1}^5\frac{i}{2^i}=\frac{26}{16}+\frac5{32}=\frac{57}{32}=2-\frac7{32} \end{align} $$

Esto sugiere fuertemente

$$\sum_{i=1}^n\frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}\;,$$

y podría ser más fácil demostrar esta igualdad por inducción; sin duda implicaría la desigualdad deseada.

Answer 2

Sugerencia: Tratar de probar

$$\sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n+2}{2^n}.$$