¿Cómo se puede integrar $x^x$ ?

Question

Así que he estado tratando de resolver $\int x^x dx$ como un reto de uno de mis amigos. Antes de que alguien lo diga, reconozco que la ecuación no tiene cerrado soluciones. He tratado de integrar mediante el uso de series. He intentado reconocer que $x^x = e^{xln(x)}$ para expresar la función como una serie de Taylor para integrarla. Sin embargo, termino con una suma doble particularmente desagradable: $\sum_{m=0} ^\infty \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{m!} \left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}x(x-1)^n\right)^m$ . He intentado cambiar la suma doble por una suma simple, pero no recuerdo cómo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario)

Sabemos que $$ ((\log{x})^k)' = \frac{k}{x}(\log{x})^{k-1}, $$ por lo que podemos utilizar la integración por partes de la siguiente manera: escribir $$ I(m,n) \int x^m (\log{x})^n \, dx, $$ así que $$ I(m,n) = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log{x})^{n} - \frac{n}{m+1}\int x^{m} (\log{x})^{n-1} \, dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log{x})^{n} - \frac{n}{m+1}I(m,n-1). $$ Está claro que $I(m,0)=\frac{x^{m+1}}{m+1}$ Así que $I(m,n)$ es un polinomio de grado $n$ en $\log{x}$ multiplicado por $x^{m+1}$ para cualquier número entero no negativo $n$ .