Prueba falsa de$2p_1=0$

Question

Deje $E$ ser real paquete de más de $X$. De alguna manera han producido una 'prueba' de que $2p_1(E)=0$:

Por el principio de separación, podemos escribir $E=E_1 \oplus ... \oplus E_n$ donde $E_i$ son reales de la línea de paquetes. A continuación, $p_1(E)=c_2(E \otimes \mathbb{C})=c_2(E_1 \otimes \mathbb{C} \oplus ... \oplus E_n \otimes \mathbb{C})=\sum_{i<j} c_1(E_i \otimes \mathbb{C})c_1(E_j \otimes \mathbb{C})$ por Whitney fórmula de la suma. Ahora se sabe que $2c_1(E \otimes \mathbb{C})=0$ para cualquier paquete de $E$ (esto es la verdad para $c_i$ por extraño $i$), por lo $2p_1(E)=\sum_{i<j} 2c_1(E_i \otimes \mathbb{C})c_1(E_j \otimes \mathbb{C})=0$.

Esto es absurdo. Supongamos que fuera cierto, si $X$ es una 4-variedad, a continuación, $H^4(X)$ es de torsión libre, por lo que el número de Pontryagin $p_1(X)=<p_1(TM),[X]>=0$, pero por supuesto hay de 4-variedades con distinto de cero Pontryagin números. Entonces, ¿dónde está el error en la anterior prueba? Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

¡El principio de división no es cierto para los paquetes vectoriales reales y la cohomología integral! Es decir, si$E$ es un paquete vector real en un espacio$X$ y$Y$ es el conjunto de indicadores sobre$X$ obtenido de$E$, entonces el mapa$H^*(X;\mathbb{Z})\to H^*(Y;\mathbb{Z})$ generalmente no es inyectiva. (¡Es inyectivo si usa$\mathbb{Z}/2$ coeficientes, como en las aplicaciones típicas de las clases de Stiefel-Whitney, pero no con coeficientes enteros!)