$f''$ tiene cero en el intervalo $(a,b)$ si el gráfico de $f$ intersecta la línea entre $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$

Question

Sea $ f$ sea continua en $[a,b] $ y asumir la segunda derivada $f''$ existe en (a,b). La gráfica de $f$ y el segmento de recta que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ se cruzan en un punto $(x_{0},f(x_{0}))$ donde $a<x_{0}<b$ . Demuestre que existe un punto $c \in (a,b) $ tal que $f''(c) = 0$ .

Answer 1

Sugerencia : Tenemos $$ \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(b) - f(x_0)}{b-x_0} $$ como los tres puntos $(a, f(a))$ , $(x_0, f(x_0))$ y $(b, f(b))$ forman una línea. Aplique ahora el teorema del valor medio a $[a, x_0]$ y $[x_0, b]$ . Teorema de Rolle aplicado a $f'$ hará el truco.

Answer 2

Pista: Existen $x_1 \in (a,x_0)$ , $x_2\in (x_0,b)$ con $f'(x_1)=\dfrac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}=\dfrac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}=f'(x_2).$