En$\ell^2(\mathbb{Z})$, usando coeficientes de Fourier, ¿calcula el espectro del operador de desplazamiento a la derecha?

Question

En$\ell^2(\mathbb{Z})$, ¿cuál es el espectro del operador de desplazamiento a la derecha?

He visto publicaciones relevantes en el sitio web y noté que alguien había mencionado en sugerencias que$\ell^2(\mathbb{Z})$ es$L^2(\mathbb{T})$ y, por lo tanto, el operador de desplazamiento a la derecha puede transformarse en un operador de multiplicación. Estoy interesado en este enfoque y ¿alguien podría mostrar cómo se logra esto?

Answer 1

De hecho, $\ell^2(\mathbb{Z})$ es isométrico a $L^2(\mathbb{T})$ a través de la transformada de Fourier transform, es decir, el siguiente mapa es una isometría: $$f\mapsto\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}\mathrm{d}t\right)_{n\in\mathbb{Z}}.$$ Esto es parcialmente una consecuencia de la igualdad de Parseval.

Ahora, observe que el derecho de cambio de operador en $\ell^2(\mathbb{Z})$ se convierte en la multiplicación por $x\mapsto e^{-ix}$ $L^2(\mathbb{T})$ a través de la por encima de isometría. Por lo tanto, desde el $\mathbb{S}^1=\{e^{it},t\in\mathbb{R}\}$, el espectro de la multiplicación por $x\mapsto e^{-ix}$$\mathbb{S}^1$, por lo que es el espectro de la derecha de cambio de operador.

Puedo dejar de trabajar por qué el espectro es invariable a través de la isometría.