Lipshitz Integral $a=0$

Question

Sabía que este, $$\displaystyle{\int_0^\infty e^{-ax}J_0(bx)dx=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}},$$ holds for $a # > 0$ but, in an exercise from Arfken, it said that this holds for $a\geq0$.

¿Cómo puedo probar?

Answer 1

Vamos a emplear la siguiente representación integral de la $J_0$

$$ J_0(bz)=\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\cos(bz t)}{\sqrt{1-t^2}}dt $$

que puede ser derivada a partir de la representación de enteros por un fácil cambio de variables. Ahora queremos calcular (asumiendo $b>0$)

$$ I(b)=\int_0^{\infty} dzJ_0(bz)= \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} dz \int_0^1\frac{\cos(bz t)}{\sqrt{1-t^2}}dt $$

Cambiando el orden de integración no es directamente justifica porque el resultado integral $t$, obviamente, no convergen en el sentido usual de la palabra. Para hacer este paso riguroso requiere una interpretación en el sentido de templado distributuions y permitts hagamos uso de $\int_{\mathbb{R}} e^{i x y}dx =2\pi \delta(y)$ donde $\delta(y)$ es Diracs delta de distribución.

$$ I(b)=2\int_0^1\frac{\delta(bt)}{\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{b}\int_{-b}^b\frac{\delta(t)}{\sqrt{1-(t/b)^2}}dt=\frac{1}{b} $$

donde se ha usado la simetría de el integrando en el último paso.

Answer 2

Otra manera de. Sabemos que: %#% $ #% por lo tanto asumiendo $$ J0(x) = \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}\exp\left(i x \sin(t)\right)\,dt \tag{1}$ podemos aplicar Teorema de Fubini para obtener: $a>0$ $ a través de la sustitución $$ \begin{eqnarray}\int_{0}^{+\infty}e^{-ax}J0(x)\,dx &=& \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}\int{0}^{+\infty}\exp\left(i x \sin(t)-ax\right)\,dx\,dt\&=&\frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}\frac{dt}{a-i\sin(t)}\&=&\frac{1}{\pi}\int{0}^{\pi}\frac{a\,dt}{a^2+\sin^2(t)}\&=&\frac{2a}{\pi}\int{0}^{\pi/2}\frac{dt}{a^2+\sin^2(t)}\&=&\frac{2a}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{a^2(1+u^2)+u^2}\&=&\color{red}{\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}}\tag{2}\end{eqnarray}$. $t=\arctan(u)$ No es una función Lebesgue-integrable en $J_0(x)$, $\mathbb{R}^+$ decae como $|J_0(x)|$, pero es impropiamente integrable Riemann sobre $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Así que asumiendo que la identidad determinada se indica "en la manera de Riemann", $\mathbb{R}^+$ sostiene también para $(2)$. Puede deducirse la identidad de dos parámetros de la suya de $a=0$ a través de un simple cambio de variable.