Los ejemplos de filtraciones continuas derecho

Question

Un % de filtración $(\mathcal{F}_t)$se dice que es derecha continua si $\mathcal{F}t = \bigcap\limits{h > 0} \mathcal{F}_{t + h} $. (A filtration$ (\mathcal{F}_t)$es una colección que cada$\mathcal{F}_t$es una$\sigma$-álgebra y eso \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t$ if $s \leqslant$ t$).

¿Cuáles son algunos ejemplos contra sobre filtraciones no ser derecha continua?

Answer 1

Tomar cualquier filtración discreto ${\mathcal{F}_n}$ y definir $\mathscr{F}t:= \mathcal{F}{f(t)}$para cualquier % aumento continuo izquierda$f:\mathbb{R}\to \mathbb{N}$. Nota: tal un$f$no puede ser derecha continuo así, otra cosa sería continua y el codomain no podría ser$\mathbb{N}$.

Answer 2

Que $\Omega$ el espacio de continuadas trayectorias de $[0,\infty)$ ${\Bbb R}$, y que $(X_t)$ el proceso de coordenadas definido por $X_t(\omega) = \omega(t)$ $t\ge 0$ y $\omega\in\Omega$. El % de filtración ${\cal F}_t:=\sigma{Xs:0\le s\le t}$,$t\ge 0$, no es justo continuo. De hecho, el evento$\Omega+$, definido como$$ \Omega+:=\bigcap{n=1}^\infty\bigcup{r\in{\Bbb Q, r 0}, $$ es un elemento de $\bigcap\limits{h>0}{\cal F}_h$pero no es un elemento de${\cal F}_0=\sigma{X_0}$.