He resuelto el problema de yo - yo sólo había pasado por alto una prueba. Aquí está, cómo fue.
El ansatz es determinar las necesarias estructuras de los exponentes $a$ $b$ a permitir compatible con los conjuntos de primefactors en el lhs y rhs:
$$ {5^a-1 \over 11^2 } = {11^b-1 \over 5^3 } \tag 1$$
Inicialización
Exactamente $11^2$ como factor en el numerador de la lhs, necesitamos que $a=5 \cdot 11 \cdot a_2$ :
$$ \begin{array}{}
\text{lhs :}
& \large {5^a-1 \over 11^2 }
&=\large {5^{55 \cdot a_2}-1 \over 11^2 }
& \underset{a_2=1}=
& 2^2.71.103511.\text{<big>}
\end{array}$$
Exactamente $5^3$ como factor en el numerador de la rhs necesitamos ese $b=5^2 \cdot b_2$
$$ \begin{array}{}
\text{rhs :}
& \large {11^b-1 \over 5^3 }
&=\large {11^{25 \cdot b_2}-1 \over 5^3 }
& \underset{b_2=1}=
& 2.3001.3221.\text{<big>}
\end{array}$$
Paso 1 : primefactor $2$
A continuación, hemos de adaptar los exponentes de modo que lhs y rhs tienen la primefactor $2$ para el mismo exponente. Necesitamos $a_2$ $b_2$ siendo incluso, por lo que definimos $a_2=2 a_3$ $b_2 = 2 b_3$ encontrar
$$ \begin{array}{}
\text{lhs :}
& \large {5^{55\cdot 2 \cdot a_3}-1 \over 11^2 }
& \underset{a_3=1}=
& 2^3.3.23.67.71.521.5281.\text{<big>} \\
\text{rhs :}
& \large {11^{25 \cdot 2 \cdot b_3}-1 \over 5^3 }
& \underset{b_3=1}=
& 2^3.3.3001.3221.13421.\text{<big>}
\end{array}$$
Paso 2 : primefactor $3001$
A continuación, vamos a adaptar el exponente en la lhs, que ha primefactor $3001$. Necesitamos el exponente que contengan $250$ $a_3$ necesidades para proporcionar el factor de $5^2$, por lo que definimos $a_3= 5^2 a_4$ encontrar
$$ \begin{array}{}
\text{lhs :}
& \large {5^{55 \cdot 2 \cdot 5^2 \cdot a_4}-1 \over 11^2 }
& \underset{a_4=1}=
& 2^3.3.23.67.71.101.251.401.521.1901.3001.\text{<big>}
\end{array}$$
Paso 3 : primefactor $251$
Por último, hemos de adaptar el exponente en el lado derecho que se ha primefactor $251$. Necesitamos por lo tanto el exponente que contengan $250$ como en el lado izquierdo, por lo $b_3$ necesidades para proporcionar el factor de $5$, por lo que definimos $b_3= 5 b_4$ encontrar
$$ \begin{array}{}
\text{rhs :}
& \large {11^{25 \cdot 2 \cdot 5 \cdot b_4}-1 \over 5^3 }
& \underset{b_4=1}=
& 2^3.3.5.251.3001.3221.13421.\text{<big>}
\end{array}$$
La prueba por contradicción en primefactor $5$
Aquí en el primefactorization de la rhs, nos encontramos con un factor adicional $5$ que no puede ser compensada por la variación del exponente en el lado izquierdo.
Necesitamos sólo parcial de las adaptaciones de los exponentes (pero, por supuesto, todos los pasos son obligatorios), y aún así llegó a la espera contradicción:
No podemos tener exponentes $a,b>0$, proporcionando igualdad en (1) y por lo tanto la única solución es la inicial de una $ 5^3 = 11^2 + 4$
Lo que hemos explícitamente utilizados fueron la primefactors $2,3001,251$, y es probable que directa consideraciones sobre modularities (como de costumbre con estos problemas) deben usar que moduluses (posiblemente uno no necesita el primefactor $2$). Sin embargo, esto no excluye la posibilidad de que mi enfoque básico podría descubrir más/soluciones alternativas para la refutación.
Apéndice: un provisorical Pari/GP de rutina para la resolución de problemas de forma sistemática puede ser obtenido si se desea
Para una explicación ampliada vistazo a esta edad MSE-respuesta o esta
