Producto de dos diferenciales (infinitesimales)

Question

En una derivación de física hoy mi profesor ha acabado con dos diferenciales multiplicadas entre sí, como este término en una suma más larga:

$p^2 q^2 \mathrm{d} p ~ \mathrm{d} q$

Y luego dijo que este término se convierte en cero porque los dos diferenciales se multiplican juntos, y puede ser eliminado. ¿Hay alguna justificación de cálculo para esto? No tiene sentido para mí, pero tenemos el resultado correcto...

Answer 1

A menudo, cuando los físicos escriben $\mathrm{d}p$ por sí mismo, lo ven como una cantidad muy pequeña que representa algún cambio en $p.$ Por ejemplo, si $\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} =5$ entonces podrían escribir $\mathrm{d}p = 5\mathrm{d}t $ e interpretar que "un pequeño cambio en el tiempo provoca un pequeño cambio en $p$ cinco veces mayor". Además, cuando ignoran los términos con diferenciales múltiples, están utilizando su intuición de que cuando ya estamos tratando con cantidades muy pequeñas, los términos que son productos de dichas cantidades pequeñas son todo un orden de magnitud menor y, por tanto, despreciables.

Lo hacen para evitar repetir los mismos pasos del formalismo para llegar al mismo resultado de forma más rigurosa, que sería utilizar $\Delta t = t-t_0$ para representar algún cambio en el tiempo, $\Delta p = p(t) - p(t_0)$ para representar el cambio correspondiente en $p,$ hacer todo su trabajo así, y finalmente tomar los límites como $\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \Delta p}{\Delta t} $ por lo que todos los $\Delta$ se ha convertido en $\mathrm{d}$ 's.

Así que ahora supongamos que lo estamos haciendo bien y hemos llegado a esto:

$$\Delta y = 52 \Delta p + \pi \Delta q + p^2 q^2 \Delta p \Delta q.$$

Dividir por $\Delta t$ :

$$\frac{\Delta y}{\Delta t} = 52 \frac{\Delta p}{\Delta t} + \pi \frac{\Delta q}{\Delta t} + p^2 q^2 \frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta q.$$

Ahora cuando tomamos el límite como $\Delta t \to 0$ obtenemos $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 52\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} +\pi \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}. $$

Se produce el fenómeno que has observado: el resultado final hace que parezca que sólo importan los términos con un único diferencial, mientras que los términos con dos o más diferenciales desaparecen. Esto se debe a que en este límite, todos los $\Delta$ términos ir a $0$ pero las escritas anteriormente como cocientes tienden a las derivadas, por lo que en el tercer término:

$$p^2 q^2 \frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta q\to p^2q^2 p'(t) \cdot 0 =0.$$

Así que la razón por la que puedes ignorarlos es porque cuando haces el formalismo de fondo con límites, los términos con dos o más diferenciales irán a $0$ al final, de todos modos.