Cómo mostrar que $1 \over \sqrt{1 - 4x} $ generar $\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}x^n $

Question

Necesito encontrar los valores de $a$ y $n$ en el siguiente

$$ (1 + ax)^n = \sum_{i=0}^\infty \binom{2i}{i}x^i$$

Cómo puedo comparar cosas y mostrar que $a=-4$ y $n = -{1 \over 2}$. Es fácil ampliar $1 \over \sqrt{1 -4x}$ ver que es válido pero estoy buscando otra manera.

Answer 1

En primer lugar, considerar la serie de $\sum_{n=0}^{\infty}C_{2n}^{n}x^{n}$$\frac{C_{2n+2}^{n+1}}{C_{2n}^{n}}=\frac{4(2n+1)}{2n+2}$, podemos juzgar que la serie convergente en $[-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.

Nota:$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}C_{2n}^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}x^{n}$,$f(0)=1$, $$f^{\prime}(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!(n-1)!}x^{n-1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+2)!}{(n+1)!n!}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n+2)(2n)!}{n!n!}x^{n}$$ $$xf^{\prime}(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!(n-1)!}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(2n)!}{n!n!}x^{n}$$ $$(1-4x)f^{\prime}(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}x^{n}=2f(x)$$ luego de resolver la última ecuación diferencial ordinaria, obtenemos $f(x)=\frac{c}{\sqrt{1-4x}}$$f(0)=1$, lo $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$, es decir,$\sum_{n=0}^{\infty}C_{2n}^{n}x^{n}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}, x\in[-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.

Answer 2

$$(1+ax)^{n}=\sum{n=0}^{\infty}C{2n}^{n}x^{n}=\sum{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}x^{n}$ $ Derivados en ambos lados, obtenemos la primera ecuación: $$na(1+ax)^{n-1}=\sum{n=1}^{\infty}\frac{n(2n)!}{n!n!}x^{n-1}$ $ derivados a ambos lados de la primera ecuación, obtenemos la segunda ecuación: $$n(n-1)a^{2}(1+ax)^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n(n-1)(2n)!}{n!n!}x^{n-2}$$ Let $x=0$ en sobre dos ecuaciones, podemos obtener que: $$na=2\,\,\text{and}\,\,n(n-1)a^{2}=12$ $ entonces resolver la ecuación y conseguimos que el $a=-4$ y $n=-\frac{1}{2}$.

Answer 3

Usted puede demostrar que la suma es la solución de una ecuación de differerential (trate de expresar la derivada en función de la suma sí mismo).