solicitud de referencia: prueba de que los caracteres del grupo son una base para$L^2$

Question

Sé que lo siguiente debe ser muy estándar, pero no lo he encontrado en ninguno de los libros de análisis funcionales a los que tengo acceso. ¿Sabes dónde puedo encontrar una prueba independiente ?:

Si$G$ es un grupo topológico abeliano Hausdorff compacto, el conjunto de caracteres (es decir, homomorfismos continuos$G \rightarrow S^1$) forman una base de Hilbert para$L^2(G)$.

Answer 1

De Folland del libro: Deje $G$ ser un abelian compacto Hausdorff grupo con medida $\mu$, de modo que $\mu(G) = 1$.

(1) El conjunto de caracteres, $\hat{G}$, es ortonormales: Si $\xi \neq \eta$ son dos caracteres, entonces existe un $x_0 \in G$ tal que $\xi \eta^{-1}(x_0) \neq 1$. Por un cambio de variable y la invariancia de medida de Haar, $$\int \xi \bar{\eta} = \xi \eta^{-1}(x_0) \int \xi \bar{\eta}$$ por lo $\int \xi \bar{\eta} = 0$.

(2) El conjunto es una base: Si $f \in L^2(G)$ es ortogonal a todos los personajes, $\xi$, luego $$0 = \int f \bar{\xi} = \hat{f}(\xi),$$ por lo $f = 0$ por el teorema de Plancherel. ($\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$).