¿Cómo puedo calcular el $\sin\left(10^{10^{100}} - 10\right)^\circ$?

Question

¿Cómo puedo calcular el seno de un googolplex menos de 10 grados?

Answer 1

Desde $360=40\cdot 9$, $\gcd(40,9)=1$, $$40\mid 10^{10^{100}},$$ y $$10^{10^{100}}\equiv 1^{10^{100}}\equiv 1 \pmod 9,$$ por el Teorema del Resto Chino, el residuo de $10^{10^{100}}$ modulo $360$ será el único residuo congruente a $0$ modulo $40$ $1$ modulo $9$. Esto es $280$, así $$ \pecado (10^{10^{100}}-10)^\circ = \pecado 270^\circ = -1. $$

Answer 2

$$\begin{align} \underbrace{1000\ldots000}_{n \; \text{"}0\text{"s}} - 10 = 999\ldots990 = 90 \cdot \underbrace{11\ldots111}_{n-1\;\text{"}1\text{"s}} &= 90 \cdot (11+100 \cdot (\ldots)) \\&= 90 \cdot (3+4\cdot (\ldots)) \\&= 270+360 \cdot (\ldots) \end{align}$$

Answer 3

Considerar la secuencia de $\mu_{n + 1} \equiv 10 \mu_{n} \pmod{360}$$\mu_0 = 1$, lo $\mu_n \equiv 10^n \pmod{360}$.

Por lo tanto, $\mu_{n + 3} \equiv 1000 \mu_n \equiv 280 \mu_n \pmod{360}$.

Pero a continuación, observe que:

$$\mu_{n + 4} \equiv 10 \mu_{n + 3} \equiv 10 \cdot 280 \mu_n \equiv 2800 \mu_n \equiv 280 \mu_n \equiv \mu_{n + 3} \pmod{360}$$

De hecho, esta secuencia alcanza un estado estable de partida en $n = 3$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que:

$$\mu_n \equiv 10^n \equiv 280 \pmod{360} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \text{for} ~ n > 2$$

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A partir del resultado anterior, se deduce que para $n > 2$, la declaración sostiene por debajo:

$$\sin{(10^n - 10)} = \sin{\left ( (10^n - 10) ~ \text{mod} ~ 360 \right )} = \sin{\left ( 280 - 10 \right )} = \sin{(270)} = -1$$