¿Significa esto que P es el centro de ABC?

Question

Dejemos que $P$ sea un punto dentro del triángulo $ABC$ , dejemos que $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ son los vértices del triángulo pedal del punto P. Sea $X$ , $Y$ , $Z$ sean los incentros de los triángulos $AB_1C_1$ , $BA_1C_1$ y $CA_1B_1$ . ¿Es cierto que si $P$ es circuncentro de $XYZ$ entonces $P$ es el incentro de $ABC$ ?

He intentado utilizar la trigonometría y he recibido el siguiente sistema $$ \begin{cases} \frac{\sin^2 \beta_1}{\sin^2 \alpha_2}=\frac{1-\cos \beta_1 \cos \beta_2}{1-\cos \alpha_1 \cos \alpha_2} \\ \frac{\sin^2 \beta_2}{\sin^2 \gamma_1}=\frac{1-\cos \beta_1 \cos \beta_2}{1-\cos \gamma_1 \cos \gamma_2} \\ \frac{\sin^2 \alpha_1}{\sin^2 \gamma_2}=\frac{1-\cos \alpha_1 \cos \alpha_2}{1-\cos \gamma_1 \cos \gamma_2} \end{cases},$$ donde $\alpha_1 = \angle BCP$ , $\alpha_2 = \angle PAC$ y así sucesivamente. Pero no sé cómo demostrar que no hay ninguna solución excepto $\alpha_1=\alpha_2, ...$

Answer 1

Dejemos que $LMN$ sea el triángulo formado por la reflexión de $P$ sobre los lados de $ABC$ . Es bien sabido que el circuncentro de este triángulo es el conjugado isogonal de $P$ con respecto al triángulo $ABC$ -esto se puede demostrar mostrando cada bisectriz perpendicular de $LMN$ corresponde a una isogonal de $AP,BP,$ o $CP$ . Entonces por homotecia el circuncentro de $XYZ$ es el punto medio de $P$ y su conjugado isogonal, por lo que $P$ es su propio conjugado isogonal. Esto es posible si $P$ es el incentro o uno de los tres excentros de $ABC$ .