Integral de$x^4\cos(x)$

Question

Quiero resolver$\int_0^{2\pi}x^4\cos(x) dx$ sin tener que aplicar la integración por partes 4 veces. Mi intento:$$ \int_0^{2\pi} x^4 \cos(x) dx= \int_0^{2\pi} \frac{\partial^4}{\partial a^4} \cos(ax) dx = \frac{\partial^4}{\partial a^4} \int_0^{2\pi} \cos(ax) dx = 0 $ $

1) ¿Por qué está mal? (Supongo que se trata de cambiar las derivaciones parciales con la integral, pero no sé qué tengo que mostrar para permitir eso)

2) ¿Hay una manera mejor que hacer la integración por partes 4 veces?

Answer 1

Después de mi comentario anterior: la función de $f(x,a) = \cos(a x)$ es regular suficiente (continuamente diferenciable, al menos) para el método de la conmutación de la integral y la diferenciación justificada. El error está en el último paso: $g\colon a\mapsto\int_0^{2\pi} f(x,a)dx = \int_0^{2\pi} \cos ax dx$ es una función de $a$, que no es idéntica a cero. La computación de los rendimientos (por $a \neq 0$) $$ g(a) = \frac{\pecado 2\pi}{un}. $$ Usted está interesado en $\frac{d^4}{da^4} g(a)\big|_{a=1}$, el cual es el verdadero valor de la integral: diferenciar $g$ cuatro veces y evaluar en $1$ para obtener este valor.

Edit: nota sin embargo de que esta repetida la diferenciación no es que lejos de lo que una repetición de la integración por parte sería efectivamente haciendo.

Answer 2

$$\int x^4\cos x\,\mathrm d\mkern1mu x=\operatorname{Re}\Bigl(\int x^4\mathrm e^{\mathrm i x}\mathrm d\mkern1mu x\Bigr)$ $ Ahora esta última integral es estándar, y la respuesta es $\;p(x)\mathrm e^{\mathrm i x}$, donde $p(x)\in\mathbf C[x]$ $4$ de grado. Así que escribir $p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, distinguir: $$\bigl(p(x)\mathrm e^{\mathrm i x}\bigr)'=\bigl(p'(x)+\mathrm ip(x)\bigr)\mathrm e^{\mathrm i x},$ $ e identificar con $\;x^4\mathrm e^{\mathrm i x}$. Solucionar para los coeficientes, debe obtener, si no me equivoco, $$(4x^3+24x)\cos x+(x^4+12x^2-24)\sin x.$ $

Answer 3

Utilizando el truco de Feynman y el truco de la parte Real:

$$\Re\lim{\alpha \to 1}\int{0}^{2\pi} \frac{\partial^4}{\partial \alpha^4} e^{i\alpha x}\text{d}x = \Re\lim_{\alpha \to 1}\frac{\partial^4}{\partial \alpha^4}\left(\frac{e^{2\pi i\alpha} - 1}{i \alpha}\right) $$

Calcular la derivada, obteniendo:

$$\Re\lim_{\alpha \to 1} \left(\frac{8\left(3i + e^{2\pi i \alpha}(-3i - 6\alpha \pi + 6i\alpha^2 \pi^2 + 4\alpha^3 \pi^3 - 2i\alpha^4 \pi^4)\right)}{\alpha^5}\right) = 32\pi^3 - 48\pi$$

que es el correcto resultado de la integración.

Answer 4

Sugerencia: el resultado tiene el % de forma $\sin(x)(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+e)+\cos(x)(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)$