El completar la demanda es,
Deje $F$ ser ordenada campo y $\bar F=F\bigcup\{+\infty,-\infty\}$. Deje $f:A \to \bar F$ ser convexa mapa de espacio afín $(A,V)$ a un espacio afín $(F,F)$, $f(C)$ es un conjunto convexo si $C$ es convexa.
Aquí $F$ puede ser tratada como $\Bbb R$, excepto para los que no usamos su topología y la métrica. $A$ es un conjunto de puntos, y $V$ es un espacio vectorial.
Una función es convexa definida mediante epígrafe,
$f$ es un conjunto convexo si su epígrafe $\text{epi} f=\{(x,y)\in A\times F:y\ge f(x)\}$ es un conjunto convexo.
No estoy seguro de si esta afirmación es correcta, pero así parece. Encuentro dificultad en la prueba. El siguiente es un intento, pero no hay contradicción es la que se encuentra.
Si $f(C)$ no es convexo, entonces existe $y_1,y_2\in f(C)$ pt. $y_1>y_2$ $\theta y_1 + (1-\theta) y_2 \notin f(C)$ algunos $\theta \in (0,1)$. Deje $y_3=\theta y_1 + (1-\theta) y_2$, y supongamos $f(x_1)=y_1, f(x_2) = y_2$ algunos $x_1,x_2\in C$. Deje $x_3 =\theta x_1 + (1-\theta) x_2)$, $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \text{epi} f \Rightarrow (\theta x_1 + (1-\theta) x_2, \theta y_1 + (1-\theta) y_2) = (x_3,y_3) \in \text{epi} f \Rightarrow y_3 > f(x_3)$
La última desigualdad $y_3>x_3$ no se contradice con la desigualdad de Jensen.
Necesito ayuda con esto. Si no es cómodo para lidiar con el espacio afín, se podría asumir $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$, y sólo trata de no utilizar la información de la topología (tales como la continuidad) y la métrica en la prueba. Puedo añadir "análisis real" como una etiqueta de esta pregunta por este motivo.
De nuevo, la nota de la afirmación podría no ser cierto. Si no es cierto, espero que alguien podría venir para arriba con un contraejemplo.
Gracias!
