¿El cierre proyectivo de un subconjunto cerrado de un espacio afín debe tener puntos en el infinito?

Question

Deje $k$ sea un campo algebraico cerrado. Para $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ , donoteamos $I^*$ es el ideal generado por el conjunto $\{F^*|F\in I\}$ Aquí $F^*=x_{n+1}^{deg F}F(x_1/x_{n+1},\ldots,x_n/x_{n+1})\in k[x_1,\ldots,x_{n+1}]$ .

Ahora, $V=Z(\mathfrak{p})$ es un conjunto algebraico irreducible de $\mathbb{A}^n(k)$ . $V^*=Z(\mathfrak{p}^*)$ es un conjunto algebraico irreducible de $\mathbb{P}^n$ llamada cierre proyectivo de $V$ . Es el conjunto algebraico más pequeño de $\mathbb{P}^n$ que contiene $V$ .

M ¿Cuándo es $V^*$ realmente mayor que $V$ ? Es decir $V^*$ tiene infinitos.

Un caso trivial: $V$ es un punto, entonces $V^*$ también es un punto, por lo que $V^*$ no aumentan los puntos.

Así que quiero saber si este será el único caso que $V^*$ es igual a $V$ ?

Answer 1

El cierre proyectivo $\overline{S}$ de un subconjunto $S$ de afín $n$ -sobre un campo algebraicamente cerrado no contendrá puntos "en el infinito" si $\overline{S}$ es una variedad afín. Pero las únicas subvariedades del espacio proyectivo que son a la vez afines y proyectivas son los conjuntos finitos.

(Se puede ver esto, por ejemplo, observando que cualquier función regular en una variedad proyectiva debe ser constante en todos los componentes finitamente conectados de la variedad, por lo que el anillo de coordenadas de una variedad proyectiva es una dimensión finita. $k$ -álgebra. Cuando $k = \mathbb{C}$ esto se reduce al teorema habitual de los mapas abiertos del análisis complejo).

Así pues, la respuesta es que $\overline{S}$ es estrictamente mayor que $S$ si $S$ es infinita.

Añadido : Se me pasó la palabra "irreducible" cuando leí la pregunta la primera vez. Dado que un conjunto algebraico finito es irreducible si tiene exactamente un punto, sí, suponiendo la irreducibilidad la única posibilidad es que $S$ consiste en un único punto.