¿Cuál es la diferencia entre el método de las diferencias finitas, el método de los elementos finitos y el método de los volúmenes finitos para las EDP?

Question

1. ¿Puede ayudarme a explicar la diferencia básica entre FDM, FEM y FVM?

2. ¿Cuál es el mejor método y por qué?

3. ¿Ventajas y desventajas de los mismos?

Answer 1

Esta es una pregunta difícil de responder.

"El FDM es el más antiguo y se basa en la aplicación de una Taylor para aproximar las ecuaciones diferenciales. El FDM utiliza una red topológicamente cuadrada de líneas para construir la discretización de la EDP. Este es un posible cuello de botella del método cuando se manejan geometrías complejas en múltiples dimensiones. Este problema de Este problema motivó el uso de una forma integral de las EDP y y posteriormente el desarrollo de las técnicas de elementos finitos y volúmenes finitos". de volumen finito". ( http://www2.imperial.ac.uk/ssherw/spectralhp/papers/HandBook.pdf )

A continuación, le ofrecemos dos referencias para que pueda conocer mejor estos métodos.

• http://files.campus.edublogs.org/blog.nus.edu.sg/dist/4/1978/files/2012/01/CN4118R_Final_Report_U080118W_OliverYeo-1r6dfjw.pdf (véase en la página 10 una comparación muy bonita de los tipos de problemas que les interesaban: la dinámica de fluidos computacional)

• Hay algunas buenas referencias para estos métodos en http://www2.imperial.ac.uk/ssherw/spectralhp/papers/HandBook.pdf (Véase la sección 7 para obtener buenas referencias)

Answer 2

Aquí hay una antigua pregunta de scicomp.SE que responde a algunas de sus preguntas: ¿Cuáles son los criterios para elegir entre diferencias finitas y elementos finitos? ?

En mi humilde opinión, el MEF es el más flexible a la hora de tratar geometrías complejas y condiciones de contorno complicadas. El MEF también permite el procedimiento adaptativo/local para obtener una aproximación local de orden superior o luchar contra las singularidades. Las bases del MEF pueden ser discontinuas y no estar bien definidas puntualmente, lo cual es una buena herencia del marco del espacio de Hilbert. Para la dinámica de fluidos computacional y el electromagnetismo, el MEF es la forma de incorporar las propiedades geométricas intrínsecas de las soluciones.

Para FVM: en parte puedes consultar mi respuesta aquí: ¿Cómo debe tratar un solucionador numérico las cantidades conservadas? También cabe destacar que la FVM sólo puede tener un orden de aproximación inferior.

Recientemente, el desarrollo del MEF aborda el problema que mencioné en la respuesta anterior. Por ejemplo, para el pde dominado por la convección, el marco tradicional de Galerkin continuo para el MEF no funciona bien, lo que introduce la disapación en el tiempo y la oscilación sobre las capas de material para la solución numérica. Ahora existen el MEF de Galerkin discontinuo (FVM de orden superior) y el DGFEM hibridado (ver aquí: Hibridación unificada de los métodos de Galerkin discontinuo, mixto y continuo para problemas elípticos de segundo orden ) para remediar estos dos efectos.

El FDM y el FVM son fáciles de implementar, pero se obtiene una compensación de esta comodidad de implementación por el uso limitado para diferentes PDEs.

Answer 3

En este post se argumentará que la idea de que un método numérico es superior a otro es un mero prejuicio que se basa en un análisis insuficiente de la realidad. otro no es más que un prejuicio que se basa en un análisis insuficiente de la realidad.

La argumentación procederá de la mano de un ejemplo bidimensional.
Se invita al lector a a que no se salte la información, sino que se fije en los detalles.

El análisis numérico de la difusión comienza con una conocida ecuación diferencial parcial conocida (EDP). El problema se restringirá aquí al caso más simple de dos dimensiones espaciales: $$ \frac{\partial Q_x}{\partial x} + \frac{\partial Q_y}{\partial y} = 0 $$ $ (x,y) = $ Coordenadas cartesianas. Una posible interpretación del vector $ (Q_x,Q_y) $ es el flujo de calor. La ecuación diferencial se deduce entonces de la ley de conservación de la energía. En el caso de la difusión pura del calor, también conocida como como conducción, los componentes del flujo de calor están relacionados con la temperatura $T$ como siguiente: $$ Q_x = - \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \qquad \qquad Q_y = - \lambda \frac{\partial T}{\partial y} $$ Dónde $ \lambda = $ conductividad térmica. Por lo tanto, la ecuación diferencial final para el campo de temperatura es realmente de segundo grado. Con el fin de hacer que para que la EDP pueda ser tratada numéricamente, hay que recurrir a un procedimiento de integración. procedimiento de integración. En este punto, se produce una división en varios caminos distintos caminos distintos, todos ellos conducentes a una solución numérica, más o menos eficiente.

Isoparamétricas triangulares

El elemento finito más sencillo en dos dimensiones - y mi favorito - es el triángulo lineal:

Resumamos la isoparamétrica (= transformación afín) en primer lugar: $$ \begin{cases} x = x_1 + (x_2-x_1)\xi + (x_3-x_1)\eta \\ y = y_1 + (y_2-y_1)\xi + (y_3-y_1)\eta \\ f = f_1 + (f_2-f_1)\xi + (f_3-f_1)\eta \end{cases} $$ A continuación se mostrará cómo se produce la diferenciación parcial en dicho triángulo lineal. Primero se hacen las reglas de la cadena con global $(x,y)$ y locales $(\xi,\eta)$ coordenadas: $$ \begin{cases} \Large \frac{\partial f}{\partial \xi} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \Large \frac{\partial f}{\partial \eta} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta} \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \Large \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial \xi} \\ \frac{\partial f}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} $$ Pero lo que necesitamos es la inversa, con determinante / jacobiano $\;\Delta = (\partial x / \partial \xi)(\partial y / \partial \eta) - (\partial x / \partial \eta)(\partial y / \partial \xi)$ : $$ \Large \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial \xi} \\ \frac{\partial f}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial \eta} & -\frac{\partial y}{\partial \xi} \\ -\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial \xi} \end{bmatrix} / \Delta \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial \xi} \\ \frac{\partial f}{\partial \eta} \end{bmatrix} $$ Dando la discretización completa de las derivadas de la función, con el determinante / jacobiano $\;\Delta = (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)$ : $$ \Delta \begin{bmatrix} \partial f / \partial x \\ \partial f / \partial y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (y_3-y_1) & -(y_2-y_1) \\ -(x_3-x_1) & (x_2-x_1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_2-f_1 \\ f_3-f_1 \end{bmatrix} $$ Aquí $\Delta$ es el área de un paralelogramo vectorial, que es el doble del área del triángulo. Lo anterior también se puede escribir como: $$ \Delta \left[ \begin{array}{c} \partial f / \partial x \\ \partial f / \partial y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} +(y_2 - y_3) & +(y_3 - y_1) & +(y_1 - y_2) \\ -(x_2 - x_3) & -(x_3 - x_1) & -(x_1 - x_2) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{array} \right] $$ La matriz de esta última fórmula debe ser memorizada; se llama matriz de diferenciación .

Método de los elementos finitos

Cuando se utiliza un método de elementos finitos, la ecuación diferencial puede multiplicarse al primero con una función (de prueba) arbitraria. A continuación, la EDP se integra en el el dominio de interés. Llamemos a la función de prueba $f$ entonces: $$ \iint f . \left[ \frac{\partial Q_x}{\partial x} + \frac{\partial Q_y}{\partial y} \right] \, dx dy = 0 $$ Se puede demostrar que esta formulación integral es (más o menos) equivalente a la ecuación diferencial parcial original ecuación diferencial parcial original. Esto se debe al hecho de que $f$ es un arbitrario función. Sin embargo, debe ser distinta de cero, continua e integrable.
La integración parcial, o la aplicación del teorema de Green (que es lo mismo) resulta en una expresión con integrales de línea sobre los límites y una integral de área integral sobre el campo de la masa. Esta última viene dada por: $$ - \iint \left[ \frac{\partial f}{\partial x}.Q_x + \frac{\partial f}{\partial y}.Q_y \right] \, dx dy $$ Cuidado con el signo menos. La ventaja que se consigue con esto es una reducción de la dificultad del problema: sólo las derivadas del primero grado quedan. Como siguiente paso, el dominio de interés se divide en "elementos" $E$ . Debido a esto, también la integral se dividirá en contribuciones separadas, cada contribución correspondiente a un elemento: $$ - \sum_E \iint \left[ \frac{\partial f}{\partial x}.Q_x + \frac{\partial f}{\partial y}.Q_y \right] \, dx dy $$ Está claro que $\partial f / \partial x$ y $\partial f / \partial y$ son constantes. Mientras se considera sólo la difusión bidimensional, $Q_x$ y $Q_y$ son también derivadas parciales de primer grado, por lo tanto constantes. Por lo tanto, la formulación de los elementos finitos, para un triángulo, viene dada por $$ - \left[ \frac{\partial f}{\partial x}.Q_x + \frac{\partial f}{\partial y}.Q_y \right] \iint dx dy = - \left[ \frac{\partial f}{\partial x}.Q_x + \frac{\partial f}{\partial y}.Q_y \right] \Delta/2 $$ La integral restante es igual al área del triángulo. Aplicando ahora la matriz de diferenciación, encontramos $$ = - \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} f_1 & f_2 & f_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} y_2 - y_3 & x_3 - x_2 \\ y_3 - y_1 & x_1 - x_3 \\ y_1 - y_2 & x_2 - x_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Q_x \\ Q_y \end{array} \right] = $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} f_1 & f_2 & f_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} (y_3 - y_2) Q_x - (x_3 - x_2) Q_y \\ (y_1 - y_3) Q_x - (x_1 - x_3) Q_y \\ (y_2 - y_1) Q_x - (x_2 - x_1) Q_y \end{array} \right] $$ En realidad, no queremos subdividir el dominio de los elementos finitos en elementos triangulares sino en elementos cuadriláteros. Sin embargo, cualquier elemento cuadrilátero, a su vez, puede ser subdividido aún en triángulos, incluso de dos maneras diferentes:

Además, lo que queremos es una configuración en la que todos los vértices cuádruples desempeñen un papel igualmente importante. Para ello, los cuatro triángulos deben estar presentes en nuestra formulación, simultáneamente. Para un solo cuadrilátero, se reduce a renumerar los vértices en la formulación para un solo triángulo, de acuerdo con las siguientes permutaciones:

   1  2  3       2  4  1       3  1  4       4  3  2
También una etiqueta superior ( _no_ una potencia) se adjuntará a los valores $(Q\_x,Q\_y)$ , porque hay que indicar en qué triángulo tiene lugar la discretización. Las contribuciones se suman ahora sobre los cuatro triángulos (y el conjunto se divide por un factor dos): $$ \\frac{1}{4} \\left\[ \\begin{array}{ccc} f\_1 & f\_2 & f\_3 \\end{array} \\right\] \\left\[ \\begin{array}{c} (y\_3 - y\_2) Q^1\_x - (x\_3 - x\_2) Q^1\_y \\\\ (y\_1 - y\_3) Q^1\_x - (x\_1 - x\_3) Q^1\_y \\\\ (y\_2 - y\_1) Q^1\_x - (x\_2 - x\_1) Q^1\_y \\end{array} \\right\] + $$ $$ \\frac{1}{4} \\left\[ \\begin{array}{ccc} f\_2 & f\_4 & f\_1 \\end{array} \\right\] \\left\[ \\begin{array}{c} (y\_1 - y\_4) Q^2\_x - (x\_1 - x\_4) Q^2\_y \\\\ (y\_2 - y\_1) Q^2\_x - (x\_2 - x\_1) Q^2\_y \\\\ (y\_4 - y\_2) Q^2\_x - (x\_4 - x\_2) Q^2\_y \\end{array} \\right\] + $$ $$ \\frac{1}{4} \\left\[ \\begin{array}{ccc} f\_3 & f\_1 & f\_4 \\end{array} \\right\] \\left\[ \\begin{array}{c} (y\_4 - y\_1) Q^3\_x - (x\_4 - x\_1) Q^3\_y \\\\ (y\_3 - y\_4) Q^3\_x - (x\_3 - x\_4) Q^3\_y \\\\ (y\_1 - y\_3) Q^3\_x - (x\_1 - x\_3) Q^3\_y \\end{array} \\right\] + $$ $$ \\frac{1}{4} \\left\[ \\begin{array}{ccc} f\_4 & f\_3 & f\_2 \\end{array} \\right\] \\left\[ \\begin{array}{c} (y\_2 - y\_3) Q^4\_x - (x\_2 - x\_3) Q^4\_y \\\\ (y\_4 - y\_2) Q^4\_x - (x\_4 - x\_2) Q^4\_y \\\\ (y\_3 - y\_4) Q^4\_x - (x\_3 - x\_4) Q^4\_y \\end{array} \\right\] \\mbox{ } $$ Los cuatro triángulos superpuestos en las esquinas del cuadrilátero son una pequeña pero significativa vuelta de tuerca al método de los elementos finitos estándar, motivada por el resultado final.

Método de volumen finito

Con el fin de ahorrar trámites innecesarios, se ha utilizado la siguiente notación abreviada se ha adoptado la siguiente notación abreviada. Puede interpretarse como un producto externo: $$ r_{ij} \times Q_k = (y_i - y_j) Q^k_x - (x_i - x_j) Q^k_y = (x_j - x_i) Q^k_y - (y_j - y_i) Q^k_x $$ Términos pertenecientes a $f_k, k=1 ... 4$ se recogen juntos. Al hacer esto, el procedimiento estándar de montaje de elementos finitos se demuestra a pequeña escala. ¿Qué más es la matriz de elementos finitos que un sistema incompleto de ecuaciones? $$ \frac{1}{4} \left[ \begin{array}{cccc} f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} r_{32} \times Q_1 + r_{42} \times Q_2 + r_{34} \times Q_3 + 0 \\ r_{13} \times Q_1 + r_{14} \times Q_2 + 0 + r_{34} \times Q_4 \\ r_{21} \times Q_1 + 0 + r_{41} \times Q_3 + r_{42} \times Q_4 \\ 0 + r_{21} \times Q_2 + r_{13} \times Q_3 + r_{23} \times Q_4 \end{array} \right] $$ Posteriormente, utilícelo: $$ r_{32} = r_{34} + r_{42} \qquad r_{14} = r_{13} + r_{34} \qquad r_{41} = r_{42} + r_{21} \qquad r_{23} = r_{21} + r_{13} $$ Para poner lo anterior en una forma más bonita: $$ \left[ \begin{array}{cccc} f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2} r_{42} \times \frac{1}{2} (Q_1+Q_2) + \frac{1}{2} r_{34} \times \frac{1}{2} (Q_1+Q_3) \\ \frac{1}{2} r_{13} \times \frac{1}{2} (Q_1+Q_2) + \frac{1}{2} r_{34} \times \frac{1}{2} (Q_2+Q_4) \\ \frac{1}{2} r_{21} \times \frac{1}{2} (Q_1+Q_3) + \frac{1}{2} r_{42} \times \frac{1}{2} (Q_3+Q_4) \\ \frac{1}{2} r_{21} \times \frac{1}{2} (Q_2+Q_4) + \frac{1}{2} r_{13} \times \frac{1}{2} (Q_3+Q_4) \end{array} \right] $$ Es una trivialidad, pero no obstante: una imagen dice más que mil palabras.


Se ve que los cuatro trozos de ecuaciones se corresponden con cuatro trozos de integrales de línea, cada una de las cuales pertenece a uno de los vértices. Los puntos medios de los de los lados del triángulo están conectados por líneas en las que tiene lugar la integración. El flujo de calor en un punto medio es la media de los valores en los vértices.
Adoptemos ahora otro punto de vista y dejemos de concentrarnos en los elementos, sino en los vértices. En lugar de organizar los vértices alrededor de un elemento, los elementos se alrededor de un vértice. Etiquetar los puntos medios de los lados de los triángulos como $a,b,c,d,e,f,g,h$ .
Se observa inmediatamente que las líneas que unen los lados centrales de los triángulos de los triángulos alrededor de un vértice, cuando se unen, delinean claramente un área cerrada, que puede interpretarse como una especie de volumen finito bidimensional. Expresado en el formalismo del producto exterior encontramos: $$ r_{ba} \times Q_a + r_{cb} \times Q_c + r_{dc} \times Q_c + r_{ed} \times Q_e + r_{fe} \times Q_e + r_{gf} \times Q_g + r_{hg} \times Q_g + r_{ah} \times Q_a $$ Que es el contenido de una ecuación en la matriz global de elementos finitos. Todos los términos juntos representan una discretización de la siguiente circular: $$ \sum r \times Q = \oint Q_y dx - Q_x dy $$ Sin embargo, con la ayuda del teorema de Green, dicha integral circular puede convertirse en una integral de "volumen", sobre el área indicada en la figura anterior: $$ \oint Q_y dx - Q_x dy = + \iint \left[ \frac{\partial Q_x}{\partial x} + \frac{\partial Q_y}{\partial y} \right] \, dx dy $$ La conservación del calor se integra sobre un volumen finito, que se envuelve alrededor de un vértice. Así que hemos llegado a una especie de método de diferencias finitas. Para ser más precisos: a un método de volumen finito. Se observa que este procedimiento de V.F. ha sido aplicable a las mallas curvilíneas desde el principio.
Aplicar un método de elementos finitos (Galerkin) a una malla de cuadriláteros. Subdividir cada uno de los cuadriláteros en cuatro triángulos (superpuestos), de las dos formas posibles. Entonces dicho método es equivalente a un método de Volumen Finito: los lados medios de los triángulos, alrededor del vértice de interés, se conectan claramente para formar la frontera de un volumen finito bidimensional, y la ley de conservación se integra en este volumen.
Unificación de un método de elementos finitos y de volumen finito se ha logrado aquí, para una clase restringida de problemas de difusión bidimensional.

Answer 4

FDM

La FDM se crea a partir de la definición básica de diferenciación que es $$ \frac{df}{dx}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ aquí "h" tiende a cero.

En el análisis numérico, no es posible dividir un número por "0", por lo que "cero" significa un número pequeño. Así que FDM es similar al cálculo diferencial pero ha matado el corazón que es tenda límite a "cero". Así que en la mayoría de los casos la precisión de FDM aumenta con el refinamiento de la cuadrícula. Es un método fácil pero no es fiable para las ecuaciones diferenciales conservadoras y las soluciones que tienen choques. Difícil de implementar en geometría compleja donde se necesita un mapeo complejo y el mapeo hace que la ecuación gobernante sea aún más difícil. La ampliación a una precisión de orden superior es muy sencilla

FEM:

Se trata de una herramienta numérica tomada del cálculo de la variación. Hay muchos tipos de MEF, como el método de colocación de puntos, el método de subdominio, etc. Aquí se asume una función de prueba y se multiplica esa función de prueba con una función de ponderación. En el método de Galerkins la función de prueba es la misma función de ponderación. Diferentes métodos siguen diferentes formas de ponderación. Entonces esta función de ponderación se multiplica con la función de prueba y luego se integra sobre el volumen de control (forma débil) y se iguala a cero (Este procedimiento será diferente para diferentes tipos de MEF pero el tema es el mismo). Entonces obtenemos un conjunto de ecuaciones algebraicas. Al resolverlas se obtiene la solución. Aquí estamos trabajando sólo en el error y la ecuación diferencial algunas veces la ley conservadora puede ser violada. Este método es más preciso que FVM y FDM. Es ideal para las EDP lineales, pero es caro y complejo para las EDP no lineales. En este caso, la precisión de orden superior se consigue mediante el uso de bases de orden superior (es decir, funciones de forma). La ampliación de la precisión de orden superior es relativamente compleja que la de FVM y FDM. Los cálculos precisos de orden superior son costosos en el cálculo y la formulación matemática, especialmente para las EDP no lineales. Es más adecuado para la transferencia de calor, la mecánica estructural, el análisis vibracional, etc.

FVM: Esto es similar a FDM pero. No mató el tema de la diferenciación porque estamos integrando la ecuación diferencial sobre un volumen de control y discretizando el dominio. Como hemos integrado la ecuación diferencial la discetización es matemáticamente válida. Se puede ver libremente como FEM pero el peso aquí utilizado es 1. Aquí los flujos se integran y la resultante se pone a cero, por lo que el flujo se conserva. Puede manejar casi cualquier EDP y dominio complejo. La interpolación que se hace de la cara al centro reducirá la precisión de este proceso. Aquí la precisión se basa en el orden del polinomio utilizado. El FVM también puede producir una solución numérica precisa de cualquier orden, similar al FDM, pero más cara que el FDM. $11^{th}$ esquemas de orden tales esquemas se utilizan raramente incluso en DNS y LES. Ideal para la mecánica de fluidos.

Answer 5

¿No es una pena que uno tenga que elija entre estos métodos, aunque todos tienen sus ventajas e inconvenientes? ¿No sería mejor intentar tomar lo mejor de los mundos y mezclar los ingredientes? Tal vez un esfuerzo de investigación decente del tipo un método numérico para resolver las EDP en lugar de dos o tres distintos. Aquí está mi intento:

• Análisis numérico unificado / Destacados

Donde hay que destacar que se necesitará más de una vida para lograr realmente las cosas. Entonces, ¿dónde está mi respaldo?