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Sumas de polarización en QCD para el cálculo del modelo de parton, División de funciones

Antes de que el estado del problema real, he aquí una premisa. En el caso de un Spin 1 masiva de partículas es posible demostrar que $$\sum_{\lambda=0,\pm1}\epsilon_{\lambda}^{* \ \mu}\epsilon_{\lambda}^{\nu}=-g_{\mu\nu}+\frac{q^\mu q^\nu}{q^2}$$ for a massless particle it will be $$\sum_{\lambda=\pm1}\epsilon_{\lambda}^{* \ \mu}\epsilon_{\lambda}^{\nu}=-g_{\mu\nu}+\frac{q^\mu n^\nu+ q^\nu n^\mu}{q \cdot n}-\frac{q^\mu q^\nu}{(q\cdot n)^2}$$ donde $n^\mu=(1,0,0,0)$ e $$n\cdot \epsilon=0\\ q\cdot \epsilon=0\\ q\cdot n=q^{0}$$ Ok, ahora a mi understeanding en QED debido a la invariancia gauge de la teoría en $U(1)$ sigue el Barrio de identidad: $$q_\mu \mathcal{M^\mu}=0$$ which implies that for all practical purposes we can drop all the terms except for $-g_{\mu\nu}$

Mi problema radica en el cálculo de un proceso de QCD (todas las partículas son asumidos sin masa ) $g \ (gluon)\rightarrow q \ \bar{q}$ necesaria para el cálculo de la división de la función $P_{qg}$ (la probabilidad de que un gluon se convierte en un quark que lleva a una fracción del impulso de la gluon) que es paramtrized de la siguiente manera $$K_A (gluon)=(p^0,0,p) \\ K_B(q)=(zp+\frac{p_{\asesino}^2}{2 \ zp},p_{\asesino},zp) \\ K_C(\bar{p})=((1-z)p+\frac{p_{\asesino}^2}{2 \ (1-z)p},-p_{\asesino},(1-z)p)$$ such that $$K_A=K_B+K_C$$ provided that $$p^0=p+\frac{p_{\perp}^2}{2 \ z(1-z)p}$$ which gives the gluon a small virtuality. Up to $O(p_{\asesino}^4)$ the following identities are true: $$\etiqueta 1 K_A\cdot K_B=\frac{K^2_A}{2}\\ K_A\cdot K_C=\frac{K^2_A}{2}\\ K_B\cdot K_C=\frac{K^2_A}{2}\\ K^2_A=\frac{p_{\asesino}^2}{z(1-z)}$$now the authors of the article state that is important to consider: $$\sum_{\lambda=\pm1}\epsilon_{\lambda}^{* \mu}\epsilon_{\lambda}^{\nu}=-g_{\mu\nu}+\frac{K_A^\mu n^\nu+ K_A^\nu n^\mu}{q \cdot n}-\frac{K_A^\mu K_A^\nu}{(K_A\cdot n)^2}$$ because the middle term $$\frac{K_A^\mu n^\nu+ K_A^\nu n^\mu}{q \cdot n}$$ when plugged in the trace (which comes from the sum over polarizations of $\mathcal{ M}(g\rightarrow q \ \bar{q})$) $$ tr({K}\!\!\!/_C \gamma^\mu {K}\!\!\!/_B \gamma^\nu)$$ da distinto de cero aporte.

Tengo dos problemas:

el primero es conceptual, por lo que en un QCD cálculo que se han de considerar todos los polarización de la suma de los términos a diferencia de en QED? Es debido al hecho de que QCD no es abelian? Si es así, de dónde viene matemáticamente hablando?

El segundo problema es una práctica: el producto $$\frac{K_A^\mu n^\nu+ K_A^\nu n^\mu}{q \cdot n} \cdot tr({K}\!\!\!/_C \gamma^\mu {K}\!\!\!/_B \gamma^\nu)=-8 p_{\perp}^2+O(p_{\perp}^4)$$ but if i actually do the calculation it yelds me zero since $$tr(\gamma^\alpha \gamma^\mu \gamma^\beta \gamma^\nu)=4(g_{\alpha\mu}g_{\beta\nu}-g_{\alpha\beta}g_{\mu\nu}+g_{\alpha\nu}g_{\beta\mu})$$ then we have form the product : $$\frac{1}{K_A \cdot n}[tr(K\!\!\!/_C K\!\!\!/_A K\!\!\!/_B n\!\!\!/)]+tr(K\!\!\!/_C n\!\!\!/ K\!\!\!/_B K\!\!\!/_A)]$$ which should become $$\frac{8}{K_A \cdot n}[(K_C \cdot K_A)(K_B \cdot n)-(K_C \cdot K_B)(K_A \cdot n)+(K_B \cdot K_A)(K_C \cdot n)]$$ but from eq. $(1)$ we know that becomes: $$\frac{8}{K_A \cdot n }\cdot \left( \frac{K_A^2}{2} \right)[(K_B+K_C-K_A)\cdot n]$$ que debe ser igual a cero para la conservación de la energía! ¿qué estoy haciendo mal? gracias por cualquier ayuda.

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Fra Puntos 435

Ok después de algunos días de pensar, yo creo que he resuelto ambos problemas, por lo que pense acabo de responder a mi auto para referencia en el futuro. (verba volant scripta manent)

Para el problema práctico: Cuando escribí la parametrización de los cuatro momentos de las partículas que participan en la dispersión hice asumen erróneamente que el gluon impulso de $K_A$ debería haber sido corregido para tener en cuenta es la virtualidad. ¿Qué evadir mí fue que la virtualidad de la gluon ya estaba codificado en el quark y antiquark vivencias $K_B$ $K_C$ mediante el término $p^2_\perp$. De hecho, vamos a escribir $K_A=(p,0,0,p)$ (como si fuera real) y los otros dos como en la pregunta anterior. Luego de conservación de la energía y por la toma de la plaza, nos han: $$K^2_A=(K_B+K_C)^2=\frac{p^2_\perp}{2z(1-z)}+O(p^4_\perp)$$ so, since $K^2_A\neq0 $ we see that we have already accounted for the gluon having a small virtuality which comes from the parametrization of the quarks four momenta. There is no need then to further modify $K_A$ in order to account for it's vituality. Furthermore the substitution i made in the question effectively cancelled the virtuality of the gluon! (like i added it in $K_B$ and $K_C$ and subtracted it in $K_A$)

Si tratamos de hacer el cálculo de: la prevoius relaciones de los ímpetus son en su mayoría falsas, ahora!) $$\frac{8}{K_A \cdot n}[(K_C \cdot K_A)(K_B \cdot n)-(K_C \cdot K_B)(K_A \cdot n)+(K_B \cdot K_A)(K_C \cdot n)]$$

ahora tenemos, sabiendo que:

$$K_A \cdot n=p\\K_B \cdot n=zp+\frac{p^2_\asesino}{2zp}\\K_C \cdot n=(1-z)p+\frac{p^2_\asesino}{2(1-z)p}\\K_A \cdot K_B=\frac{p^2_\asesino}{2z}\\K_A \cdot K_C=\frac{p^2_\asesino}{2(1-z)}\\K_B \cdot K_C=p^2_\asesino+\frac{z \ p^2_\asesino}{2(1-z)} +\frac{(1-z) \ p^2_\asesino}{2z}$$ exactamente el resultado que se debería haber llegado: $$\frac{8}{K_A \cdot n}[(K_C \cdot K_A)(K_B \cdot n)-(K_C \cdot K_B)(K_A \cdot n)+(K_B \cdot K_A)(K_C \cdot n)]=-8p^2_\perp+O(p^4_\perp)$$

Para el aspecto conceptual: no abelian teoría de gauge no físico grados de libertad de los gluones no cancelar themeselves a la hora de calcular la dispersión de las amplitudes como en QED. Una forma de decir esto es: depende del hecho de que la underyling medidor de simetrías son diferentes y que provoca una modificación a la generación funcional y así, hasta el barrio de las identidades. De hecho, es por eso que hay el fantasma de los campos que tienen el papel exacto de la eliminación de la no física grados de libertad.

Ahora, a continuación, en orden a obtener la correcta física amplitud que deben tener en cuenta que el fantasma de las contribuciones para el proceso. Esto no es muy conveniente a la hora de calcular un proceso fácil, como un árbol de nivel de amplitud, es mucho más fácil reducir manualmente el no físico grados de libertad mediante la sustitución de la totalidad de la polarización de la suma con sólo la transversal.

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