Desigualdad que implican sumas de fracciones de productos de los coeficientes binomiales

Question

Que $n\in\mathbb{N}$. $0\le l\le n$ Considerar\begin{equation} bl:=4^{-l} \sum{j=0}^l \frac{\binom{2 l}{2 j} \binom{n}{j}^2}{\binom{2 n}{2 j}}\text{.} \end{equation} sabes una técnica demostrar que\begin{equation} b_l\ge b_n\text{,%#%#%?} \end{equation} pasando por una larga lista de binomiales identidades no encontré Epifanía.

Además: Parcela de $\quad 0\le l\le n-1$ $b_l$.

Answer 1

La suma de $b_\ell$ es claramente hipergeométrica: $$ b_\ell = 4^{-\ell} \sum_{j=0}^\ell \frac{\binom{2\ell}{2 j} \binom{n}{j}^2}{\binom{2n}{2j}} = 4^{-\ell} \sum_{j=0}^\ell \frac{(-n)_j}{\left(\frac{1}{2}-n\right)_j} \frac{(-\ell)_j \left(\frac{1}{2}-\ell\right)_j}{j! \cdot j!} = 4^{-\ell} {}_3F_2\left(\left. \begin{array}{ccc} -\ell & \frac{1}{2} -\ell & -n \\ & 1 & \frac{1}{2}-n \end{array} \right| 1\right) $$ Esta representación permite encontrar $$ b_n = 4^{-n} {}_3F_2\left(\left. \begin{array}{ccc} -n & \frac{1}{2} -n & -n \\ & 1 & \frac{1}{2}-n \end{array} \right| 1\right) = 4^{-n} {}_2F_1\left(\left. \begin{array}{cc} -n & -n \\ & 1 \end{array} \right| 1\right) = \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} $$

La función anterior permite ampliar la secuencia de a $\ell > n$. Esta secuencia no decreciente para todos los $\ell \geqslant 0$, pero no parece disminuir en el intervalo de $0 \leqslant \ell\leqslant n$. Aquí es un ejemplo para $n=20$:

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Ahora, a la interpretación probabilística de la de la $b_\ell$. Supongamos que una urna contiene $2n$ bolas, $n$ blanco y $n$ azul. Nos muestra $m$ bolas sin el reemplazo. La probabilidad de que la muestra contiene igual número de bolas de colores diferentes $$ p_m = \casos{\frac{\binom{n}{j} \binom{n}{j}}{\binom{2n}{2j}} & $m=2j$ \\ 0 & $m = 2j+1$} $$ Si el tamaño de la muestra de la siguiente manera simétrica distribución binomial, la probabilidad de obtener la muestra con igual número de colores es: $$ b_\ell = \sum_{j=0}^\ell \frac{\binom{n}{j} \binom{n}{j}}{\binom{2n}{2j}} \binom{2\ell}{2j} 4^{\ell} $$

No estoy viendo cómo establecer la desigualdad a pesar de que, pero espero que esto ayude.