¿Cómo probar $| \int (f)| \leq \int (|f|)$?

Question

Una función integrable $f$ $(a,b)$, cómo se probaría $| \int (f)| \leq \int (|f|)?$

Answer 1

Deje $f$ ser un complejo medibles de la función en $(a,b)$. Elija un número complejo $\alpha$ tal que $\left|\alpha\right|=1$$\alpha \int f=\left|\int f\right|$. Ahora podemos calcular que:

$\left|\int f\right|=\alpha \int f = \int \alpha f\leq \int \left|f\right|$.

Ejercicio 1: ¿por Qué la desigualdad tienen en la mencionada prueba? (Sugerencia: observar que la primera igualdad muestra que $\int \alpha f$ es un número real.)

Ejercicio 2: La prueba de arriba te dice en qué condiciones de igualdad en la desigualdad de $\left|\int f\right|\leq \int \left|f\right|$. El estado de estas condiciones. (Sugerencia: la igualdad en la desigualdad se da si y sólo si $\int \alpha f = \int \left|f\right|$.)

Creo que vale la pena explicar la intuición detrás de la anterior prueba. El caso de al $f\geq 0$ es trivial. Consideremos el caso de $f<0$. En este caso, queremos mostrar que $\left|\int f\right|\leq \int \left|f\right|$. El punto clave es utilizar el caso de $f\geq 0$; podemos aplicar en el caso de $f\geq 0$ $-f$y a la conclusión de que $\left|\int (-f)\right|\leq \int\left|(-f)\right|=\int (-f)$.

Ejercicio 3: Deducir que $\left|\int f\right|\leq \int \left|f\right|$ si $f<0$.

En el caso general, el número complejo a $\alpha$ por encima actúa de una manera similar a la transferencia del caso a $f<0$ para el caso de $f\geq 0$.