Serie de potencias con coeficientes diferenciables

Question

Supongamos que cada $s$ en un intervalo abierto, $Ps(x)=\sum{k=0}^\infty a_k(s) x^k$ es una serie de potencias con radio de convergencia mayor que R, donde cada $ak(s)$ es diferenciable. ¿Mi pregunta es: es por lo menos el radio de convergencia de $\sum\limits{k=0}^\infty a_k'(s) x^k$ R?

Answer 1

El radio de convergencia puede ser $0$ $s$. Que $h \colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ un continuo (o lisa, si desea que sus coeficientes de Lisa) función con apoyo en $[-1,1]$, $h(0) = 1$, $h \geqslant 0$ y $\int_{-1}^1 h(t)\,dt = 1$. Deje que

$$a_k(s) = k!\int_0^s h((k!)^2\cdot t)\,dt.$$

Entonces usted tiene $\lvert a_k(s)\rvert \leqslant \frac{1}{k!}$, por lo que el radio de convergencia es $\infty$ % todo $s$, $a_k'(0) = k!$, así

$$\sum_{k=0}^\infty a_k'(0)x^k$$

tiene radio de convergencia $0$.