$X$ espacio que satisface las hipótesis utilizadas para construir una cubierta universal, $A$ abeliano, $C^*(X, A) \cong \text{Hom}_{\mathbb{Z}[\pi]}(C_*(\tilde{X}), A)$ ?

Question

Sea $X$ sea un espacio que satisface las hipótesis utilizadas para construir una cobertura universal $\tilde{X}$ y que $A$ sea un grupo abeliano. ¿Cuál es la forma más elemental de ver que $$C^*(X, A) \cong \text{Hom}_{\mathbb{Z}[\pi]}(C_*(\tilde{X}), A)?$$

Answer 1

Yo lo hago usando cochains singulares. Funciones de $\tilde\sigma:\Delta^n\rightarrow\tilde X$ à $A$ que son invariantes bajo $\mathbf Z[\pi]$ son precisamente aquellas funciones que son invariantes bajo transformaciones de cubierta, que es como $\pi$ actúa sobre $\tilde X$ . De ahí que exista un mapa natural que colapsa las órbitas bajo la acción de la cubierta y que pone dichas funciones en biyección con funciones que envían $\sigma:\Delta^n\rightarrow X$ à $A$ . Por lo tanto

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[\pi]}(C_\ast(\tilde X),A)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\ast(X),A)=:C^\ast(X,A).$$

Answer 2

En cuanto tengas una estructura celular, será aún más fácil. Elija una estructura celular en $X$ alors $\bar X$ hereda una estructura celular. Se obtienen los complejos de cadenas como $C_k(X)=\mathbb Z^{i_k}$ y $C_k(\bar X) = \mathbb Z[\pi]^{i_k}$ . Teniendo en cuenta que disponemos de $R$ -módulos para $R=\mathbb Z,\mathbb Z\pi$ el resultado es bastante obvio.

También puede consultar respuesta reciente para más detalles y referencias sobre este caso especial de cohomología retorcida.