Suma de Euler-Maclaurin
Esta fue una de las primeras técnicas utilizadas para aproximar la función zeta y de hecho fue utilizada por Euler para aproximar $\zeta(2)$ . Sin embargo, este método sólo se utiliza en el resto después de haber calculado un cierto número de términos de la serie zeta.
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+\frac{N^{-s}}{2}+\sum_{r=1}^{q-1}\frac{B_{2r}}{(2r)!}s(s+1) \cdots(s+2r-2)N^{-s-2r+1}+\epsilon_{2q}(s)$$
donde
$$|\epsilon_{2q}(s)| < \left|\frac{s(s+1) \cdots(s+2r-2)N^{-\operatorname{Re}[s]-2r+1}}{(2q)!(s+2q-1)}\right|$$
Series alternas
La serie zeta alterna viene dada por
$$\zeta_a (s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$$
Entonces, acelerando esta suma, tenemos
$$e_k = \sum_{j=k}^n {n \choose j}$$
$$\zeta(s)=\frac{1}{(1-2^{1-s})}\left(\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k=1}}{k^s}+\frac{1}{2^n }\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k=1}e_k}{k^s}\right)+\epsilon_n(s)$$
donde
$$\epsilon_n(s) < \frac{(1+|t/\operatorname{Re}[s]|)\exp(|t|\pi/2)}{8^n|1-2^{1-s}|}$$
Otra aceleración diferente da un resultado ligeramente más rápido, pero más complicado
$$d_k = n \sum_{j=k}^n \frac{(n + j − 1)!4^j}{(n − j)!(2j)!}$$
$$\zeta(s)=\frac{1}{d_0(1-2^{1-s})}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}d_k}{k^s}+\epsilon_n(s)$$
donde
$$|\epsilon_n(s)| \le \frac{2}{(3+\sqrt{8})^n |\Gamma(n)(1-2^{1-s})|}$$
Este da un pseudocódigo (pág. 41) para la función Zeta utilizando el método de suma de Euler Maclaurin y una implementación de Mathematica (Apéndice D, pág. 57).
