$p \leftrightarrow \sim q \equiv (\sim p \wedge q)\vee (p\wedge\sim q)$

Question

Llevo cerca de una hora intentando resolver esto, pero sigo atascado después de algunos pasos. Esto es lo que tengo hasta ahora:

$(p \rightarrow \sim q)\wedge(\sim q \rightarrow p)$ ........................(Definición de $\leftrightarrow$ )
$(\sim p \vee \sim q) \wedge (\sim\sim q \vee p)$ ....................(Definición de $\rightarrow$ )
$(\sim p \vee \sim q) \wedge (q \vee p)$ ............................(Negación doble)
$\sim(p \wedge q) \wedge (q \vee p)$ ................................(Ley de Demorgan)

Es más o menos aquí donde me quedo atascado, ¿cómo puedo pasar de $\sim(p \wedge q) \wedge (q \vee p)$ a $(\sim p \wedge q)\vee (p\wedge\sim q)$ ?

Answer 1

En la última transición, utilice la distribución de la conjunción sobre la disyunción

$$(\sim p \vee \sim q) \wedge (q \vee p)$$ $$((\sim p \vee \sim q) \wedge q) \vee ((\sim p \vee \sim q) \wedge p)$$ $$((\sim p \wedge q) \vee (q \wedge \sim q)) \vee ((\sim p \wedge p) \vee (\sim q \wedge p ))$$ $$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$$

Answer 2

Usted fue así que cerrar. Las cosas se desordenan un poco, pero todo se resuelve bastante bien si se tiene la resistencia y la paciencia para hacer una tediosa contabilidad: \begin {align} \neg (p \land q) \land (q \lor p) & \equiv [ \neg (p \land q) \land q] \lor [ \neg (p \land q) \land p] \qquad\text {(distributividad)} \\ [0.5em] & \equiv [( \neg p \lor \neg q) \land q] \lor [( \neg p \lor \neg q) \land p] \qquad\text {(DeMorgan)} \\ [0.5em] & \equiv [( \neg p \land q) \lor ( \neg q \land q)] \lor [( \neg p \land p) \lor ( \neg q \land p)] \qquad\text {(distributividad)} \\ [0.5em] & \equiv ( \neg p \land q) \lor (p \land \neg q) \qquad\text {(eliminación)} \end {align}