si $f$ es todo y $|f(z)| \leq 1+|z|^{1/2}$, por eso se debe a $f$ ser constante?

Question

¿Cómo podemos demostrar que si $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es holomorphic (analítica) y $|f(z)| \leq 1+|z|^{1/2} \forall z$, $f$ es constante?

El teorema de Liouville viene a la mente, pero no puedo ver cómo usarlo desde $1+|z|^{1/2}$ no es holomorphic. El máximo módulo principio no parece fácilmente utilizable. Y el principio de los aislados de ceros realmente no puede ser aplicado ya que todos sabemos que es una desigualdad, no de una ecuación.

Muchas gracias por cualquier ayuda con esto!

Answer 1

Desde $f\in\mathcal{O}(\mathbb{C})$, luego $$ f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n z^n $$ para todos los $z\in \mathbb{C}$. Además, para todos los $R>0$ tenemos representación integral de los coeficientes de $$ c_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz $$ Entonces, tenemos un estiamtion $$ |c_n|\leq\frac{1}{2\pi} \cualquier\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{|f(z)|}{|z|^{n+1}}|dz|\leq \frac{1}{2\pi}\cualquier\limits_{\parcial B(0,R)}\frac{1+|z|^{1/2}}{|z|^{n+1}}|dz|= \frac{1}{2\pi}\frac{2\pi R(1+R)^{1/2})}{R^{n+1}} $$ Por tanto, para $n\in\mathbb{N}$ obtenemos $$ |c_n|\leq\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{R\+\infty}\frac{2\pi R(1+R)^{1/2})}{R^{n+1}}=0 $$ lo que implica $c_n=0$. Finalmente llegamos $$ f(z)=c_0+\sum\limits_{n=1}^\infty c_n z^n=c_0=\mathrm{const} $$ Aquí usted puede encontrar la versión generalizada de esta respuesta

Answer 2

Una forma ligeramente diferente: $|z f(1/z)| \leq |z| + |z|^{1/2}$ $z \neq 0$ $z f(1/z)$ se extiende a toda una función de $\sum_{k \geq 1} a_k z^k$ por Riemann extensión del teorema. A continuación,$f(z) = \sum_{k \geq 1} a_kz^{1-k}$. Esto implica que todos los coeficientes de $a_k$ desaparecen, excepto posiblemente $a_1$.