Encontrar el jacobiano de un sistema de diferencial de una función por trozos

Question

Mi sistema: $$\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}=-ax^2+y^2-\gamma z$$ $$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}=- h(y)-\beta y $$ $$\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t}=x+h(y)-\beta z $$

donde $h$ es la función definida a tramos

$$h(y)=\alpha(m_1 y+\frac{1}{2}(m_0 - m_1)(|y+1|-|y-1|)).$$

$$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} y}=\alpha m_1+0.5(m_0-m_1)(\frac{y+1}{|y+1|}-\frac{y-1}{|y-1|})$$, esto es correcto? Al resolver, tengo el Jacobiano $J$

$$J= \left( \begin{array}{ccc} -2ax & 2y & -\gamma \\ 0 & \alpha m-\beta & 0 \\ 1 & \alpha m & -\beta \end{array} \right) $$

donde, me he decidido a generalizar el Jacobiano para todas las partes de la función lineal a trozos mediante la relación:

$$ m = \begin{cases} m_1, |y|\geq 1 \\ m_0, |y|\leq 1\\ \end{casos} $$

Esta es una manera correcta de ir sobre ella?

Q2.El sistema de valores, se vería así: $$\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}=-0.2x^2+y^2-z$$ $$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}=- h(y)-0.2 y $$ $$\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{d} t}=x+h(y)-0.2 z $$

con puntos de equilibrio dada por:

$$x^*=(0;0.3140;-0.3140); y^*=(0;80/49;-80/49); z^*=(0;1.5699;-1.5699);$$

así que,al final, ¿cómo puedo elegir la distribución de la y* las coordenadas para encontrar los puntos de equilibrio?(como se muestra claramente,todos los puntos de equilibrio son funciones de y*).

La única cosa que puedo decir con certeza(como ustedes han señalado) es que y* no puede ser igual a 1.

Answer 1

Es de suponer que el motivo por el que estás calcular el Jacobiano es clasificar los equilibrios. Recuerdo un equilibrio es un punto de $(x^*,y^*,z^*)$ a que $\frac{dx}{dt}$, $\frac{dy}{dt}$ y $\frac{dz}{dt}$ son todos cero.

Si $y^* \ne \pm 1$, entonces usted puede evaluar el Jacobiano en este equilibrio y calcular sus autovalores y autovectores en el fin de clasificar el equilibrio y/o determinar la dinámica local. Nota, la primera fila de la Jacobiana debería ser $[ -2 a x, 2 y, -\gamma]$, que es ligeramente diferente a lo que tienen, pero el resto de su expresión se ve bien, incluyendo a $m$.

Alternativamente, si $y^* = \pm 1$, entonces el Jacobiano es definida en el equilibrio. En este caso usted tendrá que hacer mucho más trabajo para demostrar algo útil acerca de la dinámica local. Sin embargo, probablemente en este caso va a surgir como una bifurcación.