$F(x) =\int \limits_{\tan x}^{\cot x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t\,\,$ entonces $F'( \pi/4) =?$

Question

$F(x) =\int \limits_{\tan x}^{\cot x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t\,\,$ entonces $F'(\pi/4) =?$

$$F(x) =\int \limits_{\tan x}^{\cot x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t$$

$$F(x) =-\int \limits_{0}^{\cot x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t + \int \limits_{0}^{\tan x}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t$$

Según Teorema Fundamental Parte 1 :

\begin{align}Old\\ F'(x) & = f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x) \\ F'(x) & = \sqrt{1+x^2}(-\csc^2x) - \sqrt{1+x^2}(\sec^2x) \\ F'(x) & = -\sqrt{1+x^2}(\csc^2x + \sec^2x) \\ F'(x) & = -\sqrt{1+x^2}(1) \\ F'(\pi/4) & = -\sqrt{1+(\pi/4)^2} \\ \end{align}

Nuevo $F'(x) = \sqrt{1+x^2}(d/dx(\sqrt{1+\cot^2x}) - \sqrt{1+x^2}(d/dx(\sqrt{1+\tan^2x})$ $F'(x) = \sqrt{1+x^2}(d/dx(\sqrt{\csc^2x}) - \sqrt{1+x^2}(d/dx(\sqrt{\sec^2x})$ $F'(x) = \sqrt{1+x^2}[(-\csc{x}\cot{x}) - (-\sec{x}\tan{x}))$ $F'(\pi/4) = \sqrt{1+(\pi/4)^2}[(-\csc{(\pi/4)}\cot{(\pi/4)}) - (\sec{(\pi/4)}\tan{(\pi/4)}))$

?

Answer 1

Una pista: Si $F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt$ , entonces por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena:

$$ F'(x)=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$

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Para ver por qué esto funciona, observe que: $$ \begin{align*} \int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt &= \int_{a(x)}^{0}f(t)dt + \int_{0}^{b(x)}f(t)dt = \int_{0}^{b(x)}f(t)dt - \int_{0}^{a(x)}f(t)dt \\ \end{align*} $$ Ahora dejemos que $u=a(x)$ y $v=b(x)$ . Entonces tenemos: $$ \begin{align*} F'(x) &= \dfrac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{b(x)}f(t)dt \right] - \dfrac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{a(x)}f(t)dt \right] \\ &= \dfrac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{v}f(t)dt \right] - \dfrac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{u}f(t)dt \right] \\ &= f(v) \dfrac{dv}{dx} - f(u) \dfrac{du}{dx} \\ &= f(b(x)) b'(x) - f(a(x)) a'(x) \\ \end{align*} $$

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Editar: Gracias por editar en el trabajo que tienes hasta ahora. Ya casi lo tienes; ten en cuenta que $f(b(x)) = \sqrt{1+\cot^2x} = \sqrt{\csc^2x}$ y $f(a(x))=\sqrt{1+\tan^2x} = \sqrt{\sec^2x}$ .

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Editar 2: Desde $a(x)=\tan x$ y $b(x)=\cot x$ tenemos $a'(x)=\sec^2x$ y $b'(x)=-\csc^2x$ . Poniendo todo junto, nuestro primer paso debería ser: $$ F'(x)= \left(\sqrt{1+[b(x)]^2} \right)(-\csc^2x) - \left(\sqrt{1+[a(x)]^2}\right)(\sec^2x) $$