¿% Que es el $a_f=\text{ arg} \min_{a} \int \left|f(x)-a\right| dx$y $a_g= \text{ arg} \min_{a} \int \left|g(x)-a\right| dx$, $a_f \le a_g$?

Question

Que $ f(x) \le g(x) $ y asumir que $g(x),f(x) \in L^1$ deja\begin{align} af= \text{ arg} \min{a } \int_A \left|f(x)-a\right| dx\ ag=\text{ arg} \min{a } \int_A \left|g(x)-a\right| dx \end {Alinee el} donde $A \subseteq \mathbb{R}$.

Suponemos que tal $a_f$ y $a_g$ existen y $|a_f|,|a_g|

Answer 1

Deje $\lambda$ el valor de la medida de Lebesgue.

Si $\lambda(A) = \infty$, $a_f$ $a_g$ son cero. De hecho, para $a>0$, $$ \lambda(\{x\in a: |f(x)|> a/2\})\le 2 a^{-1}\int_{Un} |f(x)|\, dx<\infty, $$ por lo tanto, $$ \int_{Un} |f(x) -|\, dx\ge \frac{a}2\lambda(\{x\in a: |f(x)|\le/2\}) = \infty. $$ (De hecho, $|z-a|\ge \frac{a}2\mathbf{1}_{|z|\le a/2}$.) Del mismo modo, para $a<0$, $$ \int_{Un} |f(x) -|\, dx = \infty. $$ Por lo tanto, el infimum es alcanzado por $a=0$: la expresión es infinita para otros valores.

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Al $0<\lambda(A)<\infty$, cualquier minimizer $a_f$ es la "mediana" de $f$ en el siguiente sentido: $$\lambda(\{x\in A: f(x) < a_f\}) \le \lambda(\{x\in A: f(x) \ge a_f\})\tag{1}$$ and $$\lambda(\{x\in A: f(x) > a_f\}) \le \lambda(\{x\in A: f(x) \le a_f\}).\tag{2}$$

De hecho, si algunas de estas desigualdades falla (es decir, el primero), luego de algunos $\epsilon >0$ $$ \lambda(\{x\in R: f(x) < a_f-\epsilon\}) > \lambda(\{x\in R: f(x) \ge a_f-\epsilon\}) $$ en vista de la continuidad de la probabilidad. Entonces $$ \int_A |f(x) - a_f + \epsilon| dx = \int_{x\in R: f(x) < a_f-\epsilon} (a_f - \epsilon -f(x))dx + \int_{x\in R: f(x) \ge a_f-\epsilon} (f(x) - a_f + \epsilon)dx\\ \le \int_{x\in R: f(x) < a_f} (a_f -f(x))dx - \epsilon \lambda(\{x\in R: f(x) < a_f-\epsilon\})\\ + \int_{x\in R: f(x)\ge a_f} (f(x) - a_f)dx + \epsilon \lambda(\{x\in R: f(x) \ge a_f-\epsilon\})\\ < \int_A |f(x) -a_f| dx, $$ contradiciendo la minimality.

No es difícil ver (mediante la continuidad de la probabilidad) de que dichas $a_f\in [a_{*,f},a^*_f]$ donde $a^*_f$ es el supremum de valores para el cual (1) se mantiene, y $a_{*,f}$ es el infimum de valores para los cuales (2) se mantiene. Es posible que $a_{*,f} = a^*_f$, por ejemplo, si $\lambda(\{x\in A: f(x) = a\}) = 0$ cualquier $a\in \mathbb{R}$. En este caso, $a_f$ puede ser definido como un valor único para que $\lambda(\{x\in A: f(x) > a\}) = \lambda(A)/2$ (por lo tanto, me llamó la mediana).

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Volviendo a tu pregunta, si $f\le g$, luego $$ \{x\in a: g(x) < a\} \subconjunto \{x\in a: g(x) < a\},\\ \{x\in R: f(x) \ge a\}\supset \{x\in a: g(x) \ge a\}, $$ de donde se sigue que $a_{*,f}\le a_{*,g}$. Del mismo modo, $a^*_{f}\le a^*_{g}$.

Pero, naturalmente, para algunos valores particulares $a_f$ $a_g$ es posible que $a_f>a_g$. Por ejemplo, podemos tomar $A=[-1,1]$, $f(x) = 2\operatorname{sign} x$, $g(x) = 2\operatorname{sign} x + 1$, $a_f = 1$, $a_g = 0$.