¿Qué valores da el área mínima de la elipse?

Question

Si la elipse $\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1$ es encerrar el círculo $x^2+y^2=2y$ ¿Qué valores de $A,B>0$ minimizar el área de la elipse?

Hasta ahora he puesto la ecuación del círculo en la forma estándar: $x^2+(y-1)^2=1$ y sé que $A,B$ representa la longitud de los ejes semimayor y menor. No estoy seguro de cómo asegurarse de que el círculo está encerrado en la elipse.

Answer 1

Requerimos que las dos cónicas se toquen. Eliminando $x^2$ conduce a la ecuación cuadrática $$(A-B)y^2+2By-AB=0$$

Suponiendo que $A\neq B$ aplicando la condición de que el discriminante es cero se llega a la ecuación $$A^2-AB+B=0$$

Ahora tenemos que minimizar el área $\Delta=\pi\sqrt{AB}$ .

Por lo tanto, podemos diferenciar $$\Delta^2=\pi^2AB=\pi^2\frac{A^3}{A-1}$$

Si se pone la derivada a cero, se obtiene $$A=\frac 32, B=\frac 92$$

Se ve fácilmente que esto proporcionará el área mínima ya que no hay un máximo. Por lo tanto, los semiejes son $$\sqrt{A}=\sqrt{\frac 32}, \sqrt{B}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

El área mínima de la elipse es entonces $$\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi$$

Answer 2

El problema ya está resuelto. Si pongo un segundo círculo $x^2+(y+1)^2=1$ en el diagrama, el problema es:

¿Cuál es la elipse de menor área que puede encerrar dos círculos unitarios no superpuestos?

En Centro de envasado de Erich Friedman la siguiente respuesta de James Buddenhagen:

La elipse que resuelve tanto el problema anterior como la pregunta original tiene semieje mayor $\frac{3}{\sqrt2}$ , eje semiprincipal $\sqrt\frac32$ y el área $\frac{3\sqrt3\pi}2$ .

Answer 3

A partir de la ecuación $x^2+(y-1)^2=1$ , el círculo tiene centro $(0, 1)$ y el radio $1$ . Por lo tanto, los puntos de la misma con el mínimo y el máximo $x$ y $y$ los valores son $(0, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1)$ .

Como la elipse tiene centro en el origen, tiene que tener un máximo $y$ valor de al menos $2$ y un máximo $x$ valor de al menos $1$ .

Para la ecuación $\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1$ , esto significa que $A \ge 1$ y $B \ge 4 = 2^2$ .

Sin embargo, si la elipse tiene mayor curvatura en la parte superior que el círculo, se cruzará con el círculo. El radio de curvatura de la elipse con $A=1, B=4$ es $\frac{a}{b} =\frac14 $ , que es menor que la del círculo, que es $1$ . Por lo tanto, tenemos que modificar los valores de $A$ y $B$ para que la elipse sea tangente al círculo.

Una forma fácil de hacerlo es hacer de la elipse un círculo de radio $2$ , por lo que los valores son $A=B=4$ .

Otra posibilidad es hacer $A$ un poco más grande y $B$ más grande para que la elipse sea tangente al círculo en dos puntos. Creo que para cualquier $A> 1$ , el valor de $B$ que hace que esto ocurra podría determinarse, pero no me apetece de trabajar en esto. La respuesta deseada sería la que que minimice $AB$ .