¿Esta condición caracteriza $e^z$?

Question

La siguiente es una pregunta de un Análisis Complejo de examen de calificación, estaba estudiando a partir de:

¿Existe una función toda $f$, a diferencia de $e^z$, de tal manera que $f(0)=1$ $f'(n)=f(n)$ todos los $n\geq 1$?

Mi instinto es que tal función debe existir, aunque he intentado cocinar y he sido incapaz de hacerlo. Entonces decidí que mi instinto puede haber sido incorrecta, así que traté de demostrar $e^z$ es la única función, pero he sido incapaz de hacerlo.

El bloqueo de la carretera a un método potencial: Una forma común para mostrar dos funciones analíticas son la misma se muestran están de acuerdo en un conjunto en sus dominios con un punto límite. Si yo podría mostrar cualquier función de $f$ $e^z$ acordado en los enteros positivos, entonces ellos estarían de acuerdo con $\infty$ como el punto límite (en virtud de la transformación de $z\mapsto 1/z$, esto es lo mismo que decir que el punto límite cero) sino $e^z$ no es una función en $\mathbb{C}_{\infty}$ (es decir, $e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en a $z=0$).

Otro método que yo no he sido capaz de hacer el trabajo: Muestra los coeficientes de sus respectivos potencia de la serie son iguales.

Answer 1

Cuando se desea averiguar si una condición única determina toda una función, a menudo es útil asumir que uno tiene dos (no necesariamente diferentes) funciones de satisfacer la condición y averiguar lo que se puede determinar aproximadamente su diferencia o el cociente. En particular, si una función que satisface la condición es explícitamente conocido.

Aquí, tenemos una condición que se satisface a través de la función exponencial, función que es bastante bien conocido y tiene varios muy conveniente propiedades. Una de las propiedades es conveniente que no tiene ceros, por lo tanto el cociente $\dfrac{f(z)}{e^z}$ es todo con $f$. El hecho de que la función exponencial satisface la ecuación diferencial $y' = y$ también es a menudo muy útil.

Así que supongamos $f$ es una función completa con

$$f(0) = 1\quad \text{and }\quad f'(n) = f(n),\; n \in \mathbb{Z}^+\tag{1}$$

Para averiguar si necesariamente $f(z) = e^z$, consideremos $h(z) = f(z)e^{-z}$ y ver qué nos puede decir acerca de eso. En primer lugar, desde $f(0) = e^0 = 1$,$h(0) = 1$. La diferenciación, nos encontramos con

$$h'(z) = f'(z)e^{-z} + f(z)\bigl(-e^{-z}\bigr) = \bigl(f'(z) - f(z)\bigr)e^{-z},$$

por lo $h'(n) = 0$ para todos los enteros positivos $n$.

Por otro lado, si $g(0) = 1$ $g'(n) = 0$ para todos los enteros positivos $n$, luego se encuentra que para $f(z) = g(z)e^z$ que $f(0) = 1$ y desde $f'(z) = g'(z)e^z + g(z)e^z = \bigl(g'(z) + g(z)\bigr)e^z$, $f'(n) = \bigl(g'(n) + g(n)\bigr)e^n = g(n)e^n = f(n)$ para enteros positivos $n$. Así que las soluciones a $(1)$ están en correspondencia a la totalidad de las funciones de $h$$h(0) = 1$$h'(n) = 0,\; n \in \mathbb{Z}^+$.

Dado que sólo $h'(n) = 0,\; n \in \mathbb{Z}^+$, siempre podemos lograr $h(0) = 1$ mediante la adición de una constante, entonces la pregunta es:

Hay toda funciones de $g$ $g(n) = 0,\, n \in \mathbb{Z}^+$ otros de $g \equiv 0$?

Cualquier primitiva de una función de este tipo (desde $\mathbb{C}$ es simplemente conectado, todos totalidad de las funciones tienen un primitivo) da lugar a una solución de $(1)$.

Un no-función constante que se desvanece en todas las $n \in \mathbb{Z}$ (no sólo en los enteros positivos, pero que no duele, por supuesto) es $\sin (\pi z)$ - por supuesto, todo (distinto de cero) múltiplos de que tienen la misma propiedad. Elegir el factor de $-\pi$, podemos ver que $h(z) = \cos (\pi z)$ da lugar a la solución de $f(z) = \cos (\pi z)e^z$$(1)$, lo que evidentemente es diferente de $e^z$.

Hay muchas más soluciones a $(1)$, pero pocos pueden ser expresadas de manera tan sencilla como la anterior.