$ \newcommand { \fa }{ \mathfrak {a}} \newcommand {fb}{ \mathfrak {b}} \newcommand { \fp }{ \mathfrak {p}}$ Motivación: En la teoría de los números elementales, se prueba que para $a,b \in\mathbb {N}$ , $a b= \gcd (a,b) \operatorname {lcm}(a,b)$ . Esto tiene una obvia "categorización": para dos ideales cualesquiera $ \fa , \fb\subset\mathbb {Z}$ uno tiene $ \fa\fb =( \fa\cap\fb )( \fa + \fb )$ . Uno puede ver fácilmente que esta identidad se mantiene en cualquier dominio de Dedekind $A$ . (Sólo note que $$ v_ \fp ( \fa\fb ) = v_ \fp ( \fa )+v_ \fp ( \fb ) = \min\ {v_ \fp ( \fa ),v_ \fp ( \fb )\} + \max\ {v_ \fp ( \fa ),v_ \fp ( \fb )\} = v_ \fp ( \fa + \fb )+v_ \fp ( \fa\cap\fb ) = v_ \fp (( \fa + \fb )( \fa\cap\fb )) $$ para todos los ideales principales $ \fp\subset A$ .)
Me pregunto si esta identidad caracteriza a los dominios de Dedekind. Tengan en cuenta que este no es el caso si permitimos $A$ para ser no-etérico. Por ejemplo, si $A$ es cualquier anillo de valoración, entonces $ \fa\fb =( \fa + \fb )( \fa\cap\fb )$ para todos los ideales $ \fa\subset A$ por esencialmente la misma razón (basta con hacer el mismo cálculo utilizando la valoración de $A$ en lugar de $v_ \fp $ ). Entonces, supongamos que nos limitamos al siguiente caso:
Pregunta 1: Si $A$ es un dominio local noetheriano tal que $ \fa\fb =( \fa + \fb )( \fa\cap\fb )$ para todos los ideales $ \fa , \fb\subset A$ es $A$ un anillo de valoración discreto?
Por supuesto, una respuesta positiva implicaría que cualquier dominio noetheriano cuyos ideales satisfagan la identidad es Dedekind (sólo hay que localizar en cada ideal primordial).
La siguiente pregunta es una posibilidad remota, pero aquí va:
Pregunta 2: Si $A$ es un dominio local tal que $ \fa\fb =( \fa + \fb )( \fa\cap\fb )$ para todos los ideales $ \fa , \fb\subset A$ es $A$ un anillo de valoración?
¡Cualquier progreso en la respuesta a cualquiera de las preguntas será muy apreciado!
