Muestreo con elementos de repuesto $N$ $K$, donde $N \geq K$, ¿cuál es la probabilidad de que se selecciona al menos una vez cada elemento de $K$?
Por ejemplo, desde $10,000$ individuos, ¿cuál es la probabilidad de que cada cumpleaños es representada? (suponga que cada cumpleaños $p = 1/365$)
Ha estado usando simulaciones para trabajar esto hacia fuera, pero me gustaria saber la solución general. ¡Gracias!
Para la integridad del bien, he aquí una respuesta y algunas referencias.
Debido a que cada muestra tiene la misma probabilidad, basta con contar el número de muestras con la propiedad deseada y dividir por el número total de muestras.
Vamos a tratar el denominador de la primera, porque es más fácil de contar. Una "muestra" puede ser el único descrito por la secuencia de los resultados. De manera abstracta, que es una función $s$ $\{1,2,\ldots,N\}$ para el conjunto de los elementos o, de manera equivalente, una $N$-vector con los coeficientes en un conjunto de $K$ cosas. Porque hay $K$ formas de especificar cada coeficiente, el número total de muestras es igual a $K^N$.
El numerador es el número de muestras en las que cada elemento aparece al menos una vez. En terminología matemática, $s$ es un surjection (o "a" de la función). La combinatoria de textos explicar cómo contar surjections y proporcionan fórmulas. Por ejemplo, Wagner Básicos de la Combinatoria cubre esta en la primera página del Capítulo 9 y la primera página del Capítulo 10. El resultado es que el numerador es igual a $K!$ multiplicado por el número de Stirling del segundo tipo, $S(N,K)$.
El deseado de probabilidad por lo tanto es igual a $K! S(N,K) /K^N$.
Esta técnica de primera reducción de la probabilidad para un recuento de problema y, a continuación, expresando que el recuento problema en términos de un conjunto de funciones con propiedades específicas que le da un método general para la caracterización de los problemas de este tipo. (Gian-Carlo Rota Twelvefold Manera proporciona un enfoque unificado para este tipo de problemas.) Con una caracterización en la mano, usted puede a menudo, a continuación, buscar la respuesta.
Como ejemplo de esta fórmula en particular, considere el caso en $K=2$$N=4$. Podemos mirar hacia arriba o calcular que $S(N,K)=7$, donde la probabilidad es $2! \times 7 / 2^4$ = $14/16$. Podemos comprobar mediante la enumeración de todas las muestras de tamaño $4$ a partir de un conjunto de $2$ elementos, tales como $\{A,B\}$:
$AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB, ABBA, ABBB, BAAA, BAAB, BABA, BABB, BBAA, BBAB, BBBA, BBBB.$
De estos, el primero y el último omitir uno de los elementos, pero el resto de $14$ $16$ ejemplos incluyen tanto.
Por último, la pregunta se pide la respuesta al$N=10^4$$K=365$. Se diferencia de $1$$4.44104 \times 10^{-10}$. Es interesante ver cómo esta probabilidad depende de $N$ (manteniendo $K$ fija en $365$):
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