Teorema de invertibilidad en el límite para una función entre dos variedades 2D cerradas

Question

Supongamos una función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ en un dominio simplemente conexo y cerrado $D\subset\mathbb{R}^2$ incluida su frontera $\partial D$ .

Estoy interesado en la invertibilidad local de $f$ en un punto $x\in D$ . Para los puntos interiores, sé que está relacionado con el determinante jacobiano en $x$ . Sin embargo, me pregunto si es necesaria una condición similar para los puntos de la frontera $x\in\partial D$ .

Lo siento si se trata de un análisis básico, pero no he podido encontrar nada al respecto. Sé que para funciones 1D $f:\mathbb{R}^1\to\mathbb{R}^1$ con $D$ al ser un intervalo, no es necesaria ninguna condición en los puntos límite. Sin embargo, en el caso 2D yo esperaría que la derivada a lo largo de la tangente del límite desempeñara un papel.

Aparte del caso en que las variedades asociadas $D$ y $f(D)$ tienen límites suaves, también me interesa el caso en el que tienen (el mismo número de) esquinas. Para simplificar, se podría suponer $D$ siendo una unidad cuadrada o circular.

Answer 1

Para puntos interiores el teorema de inversión local dice que el mapeo es un difeo local en el punto si el jacobiano det es distinto de cero. Para puntos límite hay que suponer diferenciabilidad en el punto, lo que significa que la función tiene alguna extensión diferenciable a un nbhd del punto en $\mathbb R^2$ . Por otra parte, si el jacobiano det no es cero, se obtiene un difeomorfismo local en el punto. Sin embargo, creo que el punto aquí es lo que sucede para mapeos $f:D\to D$ es decir, el teorema de inversión local para las variedades con límite . La dificultad estriba en que ¡la inversa no sale del dominio! Aquí se necesita algo más que que el determinante jacobiano no sea cero: la condición adicional es que el mapa preserve la frontera. Esto se puede ver en cualquier libro que trate de las variedades con frontera (por ejemplo este ). Ahora, el cuadrado $[0,1]^2$ no es un colector con límites, sino un colector con esquinas . Pues bien, también existe un teorema de inversión local para estos objetos, y la condición es la preservación de las esquinas.

Answer 2

Colectores con esquinas. Una manifold con esquinas es un espacio localmente homeomorfo a conjuntos abiertos de cuadrantes $x_1\ge0,\dots,x_k\ge0$ en $\mathbb R^n \ (k\le n)$ . Dos homeomorfismos locales de este tipo ( gráficos ) $\psi,\varphi$ deben ser compatibles en el sentido habitual: $\psi^{-1}\circ\varphi$ debe ser un difeomorfismo (donde esté definido, es decir, entre cuadrantes). Entonces forman un atlas y sigue la maquinaria habitual: mapeados diferenciables, espacios tangentes, derivadas.

La noción de cartografía diferenciable en subconjuntos arbitrarios de $\mathbb R^n$ (como cuadrantes) es que tiene extensiones locales diferenciables a conjuntos abiertos en $\mathbb R^n$ . Entonces una biyección de dos conjuntos arbitrarios que es diferenciable así como su inversa es un difeomorfismo. Aquí se puede extender la inversa, pero esta extensión no tiene por qué ser la inversa de nada. En cuanto a las derivadas, están bien definidas por extensión cuando se trata de cerrado regularmente conjuntos, es decir, conjuntos cuyo interior es denso en ellos, como cuadrantes son .

Límites y esquinas. En un colector con esquinas $M$ la frontera $\partial M$ consiste en todos los puntos que se asignan a alguna cara de un cuadrante $x_1\ge0,\dots,x_k\ge0$ . Pero aquí hay diferencias: los puntos mapeados en $x_1=0,\dots,x_k=0$ tienen índice $k$ , los de $x_1=0,\dots,x_{k-1}=0,x_k>0$ tienen índice $k-1$ etc. Los puntos interiores tienen índice $0$ por así decirlo. Este índice es invariante por difeomorfismos, lo que hace que las cosas sean coherentes. Este índice estratifica la frontera en trozos, y las esquinas no necesitan ser finitamente muchas. Pero nótese que los puntos de índice son iguales a la dimensión de $M$ (el máximo índice posible, no necesariamente existente) son puntos aislados (por tanto, como máximo contables).

Un hecho quizá inesperado es que $\{x\ge0\}\cup\{y\ge0\}$ no es un colector con esquinas. (Véase ¿Existe algún difeomorfismo de A a B que $f(A)=B$ ? )

Teorema de inversión local. Sea $f:M\to N$ sea un mapeo diferenciable de variedades con esquinas. Entonces $f$ es un difeomorfismo local en $p\in M$ si y sólo si (i) $d_pf:T_pM\to T_{f(p)}N$ es un isomorfismo lineal y (ii) existe un nbhd abierto $U$ de $a$ en $M$ tal que $f(U\cap\partial M)\subset\partial N$ . Si ese es el caso, $f$ conserva los índices: $\text{ind}(x)=\text{ind}(f(x))$ en un nbhd cercano $a$ .

Esta última observación es interesante. Por ejemplo, se deduce que no se puede deformar de forma diferenciable un semiplano en un cuadrante: la esquina del cuadrante es el obstáculo.

En cuanto a la respuesta anterior, si se tiene un mapeo $\ f:D\to D$ y un punto $a\in\partial D$ en la que la det jacobiana es $\ne0$ entonces $f$ es un diffeo local de un nbhd abierto $U$ de $a$ en $\mathbb R^2$ en un nbhd abierto $V$ de $f(a)$ en $\mathbb R^2$ . Si $f$ no preserva el límite, habrá puntos en $V\cap D$ tal que $f^{-1}(x)\in U\setminus D$ . Por ejemplo, se puede asignar $D$ en un disco más pequeño $E\subset D$ tangente a $f(a)$ y comprueba lo que ocurre.

La única referencia completa para todo este asunto "arrinconado" que puedo recomendar es la obra de Margalef-Outerelo Topología diferencial, Holanda Septentrional 1992. El libro es una biblia del tema.