Una pregunta sobre las funciones de Schlicht

Question

Indicar la clase de Schlicht funciones (inyectiva, holomorphic en la unidad de disco, con $f(0)=0$$f'(0)=1$)$\mathcal{S}$. Y deje $\gamma :[0,\infty )\rightarrow \mathbb{C}$ ser una curva simple (continua e inyectiva) y tal que $\gamma (0)=0$$\lim _{t\to \infty}\gamma (t)=\infty$.

Tengo que demostrar que, para cada una de las $\gamma$, no hay una única $t>0$, de modo que $\mathbb{C} \backslash \gamma \left( [t,\infty )\right)$ es la imagen de algunos de los $f\in \mathcal{S}$.

Aquí está mi idea hasta ahora:

Para cada una de las $t$, a través del Mapeo de Riemann Teorema, puedo construir un bijective, holomorphic función $f_t:\mathbb{C} \backslash \gamma \left( [t,\infty )\right) \rightarrow \mathbb{D}$ ($\mathbb{D}$ es la unidad de disco) de forma tal que $f_t(0)=0$. Además, una $f_t$ es único hasta la elección de un argumento de $f_t'(0)$. Si yo pudiera de alguna forma demostrar que debe haber alguna $t>0$ tal que $\left| f_t'(0)\right| =1$ me gustaría hacer, pero estoy atascado como cómo hacer esto.

Alguien tiene alguna idea? En la misma dirección o no, todas las sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Aquí es una simple idea, lamentablemente no ha terminado (a diferencia de los que yo pensaba hace un minuto; voy a postear todos modos:) también muestra que en la mayoría de los una de esas $t$, pero no la existencia (por la existencia doy sólo una idea inconclusa).

Deje $F_t:\mathbb{C}-\gamma([t,\infty))\to\mathbb{D}$ ser el holomorphic bijection tal que $F_t(0)=0$$F_t'(0)>0$. Si $t_1<t_2$ $F_{12}=F_{t_2}\circ F_{t_1}^{-1}:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ es inyectiva pero no bijective y $F_{12}(0)=0$, así, por el lema de Schwarz $F_{12}'(0)<1$, es decir,$F_{t_1}'(0)>F_{t_2}'(0)$. Así que hay un tal $t$ que $F_t'(0)=1$.

Para la existencia: Si $t$ $a>1$ son tales que $\gamma(t')>a$ todos los $t'>t$ (es decir, si $t$ es lo suficientemente grande), a continuación, $z\mapsto F_t(z/a)$ mapas de $\mathbb{D}$ injectively a $\mathbb{D}$, lo $F_t'(0)\leq1/a<1$ (de nuevo lema de Schwarz). Si $F_t'(0)>1$ para algunos (pequeños) $t$ e si $F_t'(0)$ es una función continua de $t$, entonces hemos terminado.