Regla de oro de Fermi

Question

La teoría de perturbación de primer orden dependiente del tiempo nos dice que bajo la influencia de una perturbación $Ve^{i\omega t}$ un sistema que comenzó en el estado $|n\rangle$ en el momento $t=0$ tiene probabilidad $$P_k(t)=4|\langle k|V|n\rangle|^2\frac{\sin^2[\frac{(E_n-E_k-\hbar\omega)t}{2\hbar}]}{(E_n-E_k-\hbar\omega)^2}$$ de pasar al estado $|k\rangle$ .

Podemos imaginar que queremos conocer la probabilidad de transición a un conjunto de energías en tiempos largos. Para encontrarla, multiplicamos la probabilidad anterior por la densidad de estados, la integramos sobre todas las energías y utilizamos el límite de tiempo grande (que, por cierto, nos dice que todas las transiciones tienen que bajar por $\hbar\omega$ ) para encontrar que la probabilidad de hacer la transición hacia abajo por una energía $\hbar\omega$ por unidad de tiempo es $$\frac{2\pi t}{\hbar}g(E_{out})|\langle out|V|n\rangle|^2$$ donde $|out\rangle$ se refiere a los estados finales permitidos, con energía $\hbar\omega$ menos.

Me cuesta entender qué significa exactamente esto. Dije que quería encontrar "la probabilidad de transición a un conjunto de energías" pero mi expresión final tiene un estado final, a saber $|out\rangle$ . Entonces, ¿he encontrado realmente la probabilidad de transición a un conjunto de energías, o sólo el estado $|out\rangle$ (que todas las fuentes que estoy leyendo sugieren que es el caso)? Si es lo segundo, ¿por qué ha sucedido esto (las matemáticas que he mencionado parecen estar orientadas a lo primero), y por qué no podría haber cogido el gran $t$ límite en la expresión $P_k(t)$ ?

Answer 1

Tu segunda ecuación es extraña. Si es "por unidad de tiempo", entonces no debería tener la "t" en el numerador. Si es la probabilidad total de transición en el tiempo $t$ Entonces deberías tener la "t". De todos modos, tu segunda ecuación es el resultado de una suma sobre los estados finales. Escrita de la manera que escribiste, $|out\rangle$ debe entenderse como un estado representativo------ tienes muchos muchos estados en torno a la energía $E_{out}$ y puedes elegir cualquiera de ellos. Esto se justifica porque el elemento de la matriz $\langle out |V|n \rangle$ es casi independiente del estado de salida específico elegido.

En cierto modo, es común confundirse con la regla de oro de Fermi. Pero tenemos un artículo (ver más abajo) con una derivación clarísima de la misma. No se puede perder de vista la física.

https://www.scienceopen.com/document/vid/cdf576df-bf02-47a2-b17e-21283b806b11?0