¿Cómo solucionarlo?

Question

Necesito resolver:

ps

Tomando la transformada de Laplace (y usando el hecho de que es un operador lineal) en ambos lados obtengo:

ps

Y por lo tanto:

ps

Donde$$y''+y=x^2$ es la transformada de Laplace inversa de:

ps

Mi pregunta es cómo puedo encontrar esta transformada inversa de Laplace, estoy acostumbrado a dividir la fracción en fracciones parciales, pero no creo que esté acostumbrado a hacer una fracción parcial como en el ejemplo anterior.

Answer 1

En cuanto a la solución de Laplace que solicitó, puede dividir la fracción de esta manera: $$\frac 1{s^3(s^2+2)}=\frac As+\frac B{s^2}+\frac C{s^3}+\frac{Ds+E}{s^2+1}$$$ $=\frac{As^4+As^2+Bs^3+Bs+Cs^2+2C+Ds^4+Es^3}{s^3(s^2+1)}$ $$$=\frac{(A+D)s^4+(B+E)s^3+(A+C)s^2+Bs+C}{s^3(s^2+1)}$ $

Por identificación, encuentras$B=0,E=0,C=1,A=-1,D=1$

Answer 2

Oh, yo odio la transformada de Laplace! Todavía tengo que encontrar una ecuación diferencial que no se pueden resolver más fácilmente el uso de métodos más sencillos. Aquí, la ecuación diferencial es $y''+ y= x^2$. El asociado homogénea de la ecuación es $y''+ y= 0$. Su ecuación característica es $r^2+ 1= 0$ que tiene raíces $r= \pm i$, por lo que la solución general de la homogénea asociada ecuación es $C_1cos(x)+ C_2sin(x)$. El lado derecho, $x^2$, es uno de los tipos de funciones que podríamos esperar como una solución a esta ecuación así que el uso de "coeficientes indeterminados"- trate de $y= Ax^2+ Bx+ C$ para las constantes a, B, C, a ser determinado. A continuación, $y'= 2Ax+ B$ y $y''= 2A$. $y''+ y= 2A+ Ax^2+ Bx+ C= Ax^2+ Bx+ 2A+ C= x^2$. Dos polinomios será igual para todo x , si y sólo si "correspondientes coeficientes son iguales - debemos tener $A= 1$, $B= 0$, y $2A+ C= 0$. De modo que A= 1, B= 0 y C= -2. La solución general de esta ecuación diferencial es $y(x)= C_1cos(x)+ C_2sin(x)+ x^2- 2$.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{{1 \over s^{3}\pars{s^{2} + 1}} :\ ?}$

1. Para el $\ds{\color{#f00}{\mbox{pole at}\ s = 0}}$, el residuo es dada por $$\begin{align} {1 \over 2!}\,\lim_{s \to 0}\,\totald[2]{}{s}\bracks{% {s^{3} \over s^{3}\pars{s^{2} + 1}}\,\expo{st}} & = {1 \over 2}\,\lim_{s \to 0}\,\totald[2]{}{s}\bracks{% {\pars{1 - s^{2}}\pars{1 + st + \half\,s^{2}t^{2}}}} \\[4mm] & = \color{#f00}{-1 + \half\,t^{2}} \end{align}$$
2. Para el $\ds{\color{#f00}{\mbox{poles at}\ s = \pm\ic}}$, el residuo es dada por $$\begin{align} \left.\pars{s \pm \ic}{\expo{st} \over s^{3}\pars{s - \ic}\pars{s + \ic}} \right\vert_{\ s\ \to\ \pm\ic} & = {\expo{\pm\ic t} \over \pm\ic\pars{\mp\ic\ \mp\ \ic}} = \color{#f00}{\half\,\expo{\pm\ic t}} \end{align}$$

   El resultado final se convierte en: $$\pars{-1 + \media\,t^{2}} + \pars{\media\,\expo{\ic t}} + \pars{\media\,\expo{-\ic t}} = \color{#f00}{-1 + \media\,t^{2} + \cos\pars{t}}$$

Answer 4

Mi pregunta es ¿cómo puedo encontrar esta transformada inversa de Laplace de $\dfrac{1}{s^3(s^2+1)}$?

Sugerencia. Si uno quiere continuar en su ruta, por una fracción parcial de la descomposición, uno tiene $$\frac{1}{s^3(s^2+1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^3}+\frac{s}{1+s^2}$$ dando $$\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^3(s^2+1)}\right)(t)=-1+\frac{t^2}2+\cos t$$ uso estándar de las propiedades de la transformada inversa de Laplace.